Nachgiebige Mechanismen

Trotz der zahlreichen Vorteile nachgiebiger Mechanismen ist der Maschinenbau von konventionellen Mechanismen dominiert. Einer der Gründe davon ist die oben angesprochene, wesentlich höhere Komplexität des Entwurfes nachgiebiger Mechanismen im Vergleich zu konventionellen. Das Personal unseres Instituts, das sich mit nachgiebigen Mechanismen beschäftigt, hat zum Teil jahrzehntelange Erfahrung mit der Thematik deren Entwurfes und entwickelt diesen Schwerpunkt in gezielter Forschungsarbeit kontinuierlich weiter.
Der Entwurf konventioneller Mechanismen profitiert von einer wichtigen Tatsache: Deren gewünschte Verformungen resultieren aus relativen Starrkörperbewegungen der Glieder zueinander. Daher lassen sich diese grundsätzlich ohne Berücksichtigung von Kräften und elastischen Verformungen analysieren. Im Entwurf ist die Festlegung der gewünschten Verformungen eine rein topologisch-geometrische Aufgabe. Erst in einer nachgeordneten Phase werden die einzelnen Elemente (Glieder und Gelenke) dimensioniert. Der kinematische Aspekt (also die Betrachtung der gewünschten, funktionellen Verformungen) kann daher vom statischen Aspekt (die Betrachtung von Kräften und daraus resultierenden Beanspruchungen im Material) komplett getrennt werden. Das ist bei nachgiebigen Mechanismen nicht möglich. Ein stoffschlüssiges System, das ohne die Berücksichtigung von elastischen Dehnungen modelliert wird, wäre nicht in der Lage, eine gewünschte Verformung abzubilden. Das Verhältnis zwischen Kraft und Verformung muss also bei nachgiebigen Mechanismen im Entwurf vom ersten Schritt an beachtet werden. Außerdem sind Anforderungskonflikte zwischen Verformbarkeit und Belastbarkeit bei konventionellen Mechanismen wesentlich unproblematischer zu lösen, da diese Eigenschaften getrennten Komponenten zugeordnet werden: Glieder und Gelenke können beliebig versteift werden, ohne dass sich das auf die Kinematik (also auf die Realisierbarkeit der gewünschten Verformungen) negativ auswirkt. Bei nachgiebigen Systemen müssen in jedem Punkt des Systems Verformbarkeit und Belastbarkeit miteinander aufgewogen werden: Wird ein Querschnitt verstärkt, so wirkt sich das einerseits positiv auf die Belastbarkeit, andererseits negativ auf die Verformbarkeit. Aus diesem Grund wird der Entwurf nachgiebiger Systemen ab einer gewissen Komplexität grundsätzlich auf der Basis einer formell aufgestellten Optimierungsaufgabe durchgeführt.
Eine Optimierungsaufgabe besteht aus verschiedenen Teilaufgaben, für die unterschiedliches Spezialwissen gefordert ist. Erstens (Parametrisierung) muss zur mathematischen Erfassung der Gegenstand des Entwurfes (bei gegebenem, konstanten Material die unbekannte Geometrie des Mechanismus) parametrisiert werden, so dass sie als Funktion einer bestimmten Anzahl von Variablen (Entwurfsvariablen) ausgedruckt werden kann. Zweitens (Problemformulierung) muss definiert werden, welche mathematische Funktion der Entwurfsvariablen (Zielfunktion) minimiert oder maximiert werden und unter welchen Einschränkungen (Restriktionen) dies geschehen soll. Und drittens (Suchstrategie) muss das Algorithmus gewählt werden, durch das die optimale Lösung gefunden werden soll.
Was unsere Forschung auf dem Gebiet des Entwurfes nachgiebiger Mechanismen angeht, liegt der hauptsächliche Schwerpunkt in der Untersuchung geeigneter Problemformulierungen. Was die Parametrisierung angeht, sind wir auf die sogenannte Topologieoptimierung spezialisiert, bei denen die Domäne, in der die Geometrie definiert werden soll, in einem feinen Netz von Elementen aufgeteilt wird. Der Beitrag der einzelnen Elemente zur Steifigkeit des Systems wird mit einem Faktor (Dichte) skaliert. Die Dichten der einzelnen Elemente stellen dann die Entwurfsvariablen dar. Ein spezielles Thema, das am Institut in diesem Zusammenhang behandelt wird, ist der integrierte Entwurf von nachgiebigen Mechanismen und Aktoren, die für die Aktivierung der Mechanismen sorgen.

Im Rahmen der Frage der Problemformulierung ist uns gelungen, mit der modalen Prozedur, welche das erste Beispiel sogenannter pseudokinematischer Ansätze darstellt, einen Meilenstein zu setzen.
Es wurde oben angesprochen, dass eine strenge Trennung zwischen Kinematik und Statik im Entwurf nachgiebiger Systeme nicht möglich ist. Das hat die Wissenschaftsgemeinde dazu verleitet, den Anspruch eines kinematischen Entwurfs komplett aufzugeben und Entwurfsmethoden grundsätzlich lastfallorientiert zu konzipieren. Das heißt, in der Problemformulierung wird eine begrenzte Anzahl von Lastfällen berücksichtigt und die Antwort des Systems auf abweichende Lastfälle wird nicht beachtet. Bei unserer Arbeit haben wir hingegen nach Wegen gesucht, den kinematischen Anspruch beim Entwurf so weit wie es geht aufrecht zu erhalten, und die Geometrie des Systems dafür zu optimieren, dass es dazu tendiert, für eine sehr breite Auswahl an Lastfällen mit stark ähnlichen Verformungen zu reagieren. Diese Eigenschaft (kleine Differenzen in der Verformung bei ausgeprägten Unterschieden in der Belastung) haben wir Selektivität genannt. Eine hohe Selektivität haben wir grundsätzlich zum Hauptziel der Optimierung gemacht und haben uns dann darauf fokussiert, der Selektivität eine mathematische Entsprechung zu geben, um die Maximierung der Selektivität in entsprechende Problemformulierungen umzusetzen. Diesen Ansatz nennen wir pseudokinematisch.
Bei konventionellen Mechanismen (solange sie als Systeme von Starrkörpern und perfekten Gelenken idealisiert werden) ist die Selektivität im absoluten Sinn gegeben, denn es existiert eine unendliche Anzahl von Belastungen, die zu genau der gleichen Verformung führen. Bei nachgiebigen Mechanismen ist hingegen die Selektivität eine quantitative Größe, da wie gesagt jede Verformung mit einer ganz bestimmten Belastung gekoppelt ist und so nicht möglich ist, dass zwei unterschiedlichen Belastungen zur gleichen Verformung führen. Vertiefen wir diese Tatsache mathematisch im einfachen Fall linearer Systeme, so kommen wir zur Grundlage der modalen Prozedur.
Betrachten wir zuerst einen ebenen, konventionellen Mechanismus bei kleinen Verformungen. Der Mechanismus wird mit der Methode der Finiten Elemente modelliert, wobei die Glieder nicht mehr als ideal starr gelten, sondern mit endlicher Steifigkeit versehen werden. Eins der Glieder wird fest eingespannt. Die FE-Methode liefert dann die Beziehung zwischen Verschiebungen und Kräften in Form eines Systems von linearen Gleichungen. Da wir einen Mechanismus haben, ist die Koeffizientenmatrix der Verschiebungen (die Steifigkeitsmatrix) singulär. Das bedingt, dass das System entweder gar keine Lösung hat, oder unendlich viele Lösungen. So kann es die oben angesprochene eindeutige Kopplung zwischen Belastung und Verformung nicht geben: Die meisten Belastungen führen nicht zu einer Lösung, und wiederum gibt es Lösungen, die mit unterschiedlichen Belastungen realisierbar sind. Modellieren wir wiederum einen nachgiebigen Mechanismus auf ähnliche Art und Weise, so ist die oben erwähnte Kopplung gegeben. Die Steifigkeitsmatrix ist regulär, das System immer invertierbar. Für jede gegebene Belastung gibt es eine einzige statische Lösung und umgekehrt. Allerdings wird es passieren, dass mit unterschiedlichen Belastungen sehr ähnliche Verformungen zu realisieren sind. Diese Eigenschaft (die Selektivität) findet man in der sogenannten Kondition der Steifigkeitsmatrix wieder, die wiederum mit den Eigenwerten der Steifigkeitsmatrix in Beziehung steht. Bei singulären Matrizen ist mindestens ein Eigenwert gleich Null. Die Zahl der verschwindenden Eigenwerte einer singularen Matrix wird Rangabfall R der Matrix bezeichnet und beziffert die Zahl der Reihen der Matrix, die als Linearkombination der anderen ausgedruckt werden können. Damit Lösungen existieren, müssen die gleichen Verhältnisse auch auf der rechten Seite der Gleichungen herrschen, so dass R ganze Gleichungen als Linearkombination anderer Gleichungen ausgedrückt werden können. Es ist naheliegend, dass sich eine Steifigkeitsmatrix mit einem Eigenwert, der sehr klein in Bezug auf die anderen ist (schlecht konditionierte Matrix) näherungsweise wie eine singuläre Matrix verhält. Es wird zwar strenggenommen für jede aufgeprägte Belastung unterschiedliche Lösungen geben, aber sie werden näherungsweise das gleiche Verhältnis zwischen den einzelnen Verschiebungen aufweisen. Dieses Verhältnis ist durch den Eigenvektor gegeben, der dem sehr kleinen Eigenwert zugeordnet wird.
Gelingt beim Entwurf, die Steifigkeitsmatrix so zu beeinflussen, dass ein Eigenwert gering in Bezug auf die Anderen ist und dass der entsprechende Eigenvektor die gewünschte Verformung abbildet, so wird der Entwurf des Systems methodisch in die Nähe des kinematischen Entwurfs konventioneller Systeme gebracht, da eine bestimmte Verformung lastfallunabhängig dem System als bevorzugte Verformung eingeprägt wird.
Darin besteht die modale Prozedur, die naturgemäß in dieser Form nur für lineare Systeme gilt. Sie wurde hinsichtlich der konkreten Formulierung sowie hinsichtlich algorithmischer Aspekte seit der ersten Formulierung aus 2008 schrittweise weiterentwickelt und wird gerade als Basis einer allgemeineren, pseudokinematischen Prozedur verwendet, die auch für nichtlineare Systeme gilt.
Abgesehen von der Lastfallunabhängigkeit stellt die modale Prozedur auch aufgrund ihrer Einsatzflexibilität einen Quantensprung bei der Forschung um den Entwurf nachgiebiger Mechanismen dar. Sie kann ohne aufwendige änderungen der Formulierung auf Systeme mit einer über eine große Anzahl von Freiheitsgraden definierte Kinematik angewendet werden, sowie auf sogenannte nachgiebige Mechanismen mit mehrfachen Pseudolaufgrad. Nachgiebige Mechanismen mit mehrfachen Pseudolaufgrad sind die nachgiebige Entsprechung konventioneller Mechanismen mit mehrfachem Laufgrad, also von Mechanismen, die mehr als einen Freiheitsgrad besitzen, wenn sie als Systeme von Starrkörpern und idealen Gelenken abgebildet werden.

Gekoppelter Entwurf selektiv nachgiebiger Mechanismen und Aktoren

Fördermittelgeber:	DFG
Forschungsvereinigung:
Laufzeit:	24 Monate
Startzeitpunkt:	Jan 2021
Bearbeiter:	Alexander Nowak
Weiterführende Information:	DFG-Projekt

Aktive mechanische Systeme bestehen aus einem passiven mechanischen System (Mechanismus) und einem Aktorsystem. Dabei befasst sich dieser Antrag mit dem Sonderfall, in dem der Mechanismus ein nachgiebiger Mechanismus ist. Nachgiebige Mechanismen bilden die Funktion konventioneller Mechanismen ab, verzichten dabei aber grundsätzlich auf bewegliche Bauteile (Lager, Führung und Gelenke); stattdessen basiert deren Funktion auf der gezielten Verformung elastischer Bereiche. Nachgiebige Systeme werden in aller Regel auf der Basis einer Optimierungsaufgabe entworfen. Zahlreiche Aspekte sprechen dafür, eine solche Methodik auf den Entwurf des dazugehörigen Aktorsystems auszuweiten:
1) Nachgiebige Systeme verfügen über flexible Bereiche, die nur bedingt geeignet sind, durch konzentrierte Kräfte belastet zu werden - eine Analyse lokaler Deformationen bzw. der Anregung unerwünschter Verformungskomponenten muss beim Entwurf des Aktorsystems vorgenommen werden, was mit vertretbarem Aufwand nur im Rahmen einer Optimierung geschehen kann;
2) Nachgiebige Systeme bieten (oder in manchen Fällen sogar erfordern) die Möglichkeit einer verteilten Aktivierung. Die Gestaltung eines verteilten Aktorsystems ist zu komplex, um ohne die Hilfe formeller Optimierungsverfahren bewältigt zu werden;
3) Durch die Kopplung der Entwürfe von Mechanismus und Aktor, die sich bei der Integration in ein Optimierungsproblem ergibt, können Synergien genutzt werden. Es ist insbesondere möglich, die lasttragenden Eigenschaften der Aktoren (besonders bei Festkörperaktorik) in das mechanische Design zu integrieren.
In der Literatur sind zwar zahlreiche Ansätze zur Optimierung von Aktorsystemen dokumentiert; sie sind aber für die oben erwähnte Zielsetzung einer integrierten Optimierung von Aktor und nachgiebigem Mechanismus wenig geeignet. Mithilfe des vorliegenden Projekts soll ein Betrag zur Lösung der Problemstellung in Form einer optimierungsbasierten Entwurfsmethode für aktive Nachgiebige Systeme geleistet werden.

A posteriori Anpassung der Steifigkeit Nachgiebiger Mechanismen

Fördermittelgeber:	DFG
Forschungsvereinigung:
Laufzeit:	24 Monate
Startzeitpunkt:	May 2019
Bearbeiter:	Kristian Mauser
Weiterführende Information:	DFG-Projekt

Die Bewegung Nachgiebiger Mechanismen basiert auf Materialdeformation anstatt, wie bei konventionellen Mechanismen, auf dem Aufeinandergleiten oder -rollen von Bauteilen. Dieses Funktionsprinzip bedingt, dass bei der Bewegung eines Nachgiebigen Mechanismus Verformungsenergie gespeichert wird. Bei einer definierten Bewegungsamplitude bestimmt sich der Wert der Verformungsenergie über die Steifigkeit des Mechanismus. Letztere wiederum steht aus anwendungstechnischer Sicht in einem Spannungsfeld: Zum einen existieren Anwendungen bei denen eine Steifigkeit erwünscht ist, z.B. bei einer Pinzette zur Erzeugung der Rückstellkraft, auf der anderen Seite reduziert die Steifigkeit den Wirkungsgrad des Mechanismus bei einem Energieübertrag vom Mechanismuseingang zum -ausgang. Ist ein Nachgiebiger Mechanismus ausgelegt und gefertigt, dann weist er im Normalfall eine definierte Steifigkeit auf. Soll der Mechanismus bei verschiedenen Anwendungen mit unterschiedlichen Anforderungen an die Steifigkeit zum Einsatz kommen, dann ist ein suboptimales Systemverhalten die Folge. Auch gibt es Anwendungen bei denen die Steifigkeit gänzlich unerwünscht ist, aber diese aufgrund des Funktionsprinzips von Nachgiebigen Mechanismen nicht vermieden werden kann. Es wäre demzufolge von Vorteil, wenn man die Steifigkeit eines bestehenden Nachgiebigen Mechanismus im Nachhinein anpassen könnte. In der Literatur beschriebene Ansätze im Bereich der Nachgiebigen Mechanismen setzen hierbei teilweise auf das gezielte Einbringen von Vorspannungen durch Kraftbelastung des Mechanismus. Die Bestimmung der Belastung erfolgt allerdings zumeist erfahrungs- und intuitionsbasiert. Wir verfolgen mit dem vorliegenden Antrag das Ziel eine optimierungsbasierte Methode zu entwickeln, um Vorspannungskräfte für die definierte Anpassung der Steifigkeit von bestehenden Nachgiebigen Mechanismen zu bestimmen.

Kontinuumsbasierter Entwurf selektiv nachgiebiger Mechanismen mit sanfter Kinematik

Fördermittelgeber:	DFG
Forschungsvereinigung:
Laufzeit:	24 Monate
Startzeitpunkt:	Apr 2019
Bearbeiter:	Stephanie Kirmse
Weiterführende Information:	DFG-Projekt

Nachgiebige Mechanismen sind mechanische Systeme, welche die Funktion eines konventionellen Mechanismus abbilden, dabei aber grundsätzlich auf bewegliche Bauteile (Lager, Führung und Gelenke) verzichten. Stattdessen basiert deren Funktion auf der gezielten Verformung elastischer Bereiche. Für den Entwurf von nachgiebigen Mechanismen existieren zwei separate Grundansätze: Beim ersten (Pseudostarrkörper-Ansatz) startet die Prozedur - wie bei konventionellen Mechanismen - von einem Mehrkörpersystem; beim Anderen (kontinuumsbasierter Ansatz) wird als Ausgangsbasis ein Bauraum definiert, in dem eine feste oder variierende Menge an Konstruktionsmaterial auf zu bestimmende Weise verteilt wird. Ein grundsätzlicher Unterschied zwischen den beiden Ansätzen ist, dass im ersten Fall die Topologie des Mechanismus a priori festgelegt werden muss, während sie im Zweiten als Ergebnis des Entwurfes entsteht. Dadurch wird der Entwurf mittels des Pseudostarrkörperansatzes verhältnismäßig einfach, jedoch zum Preis einer erheblichen Einschränkung der Vielfalt möglicher Entwürfe. Aufgrund ihrer inhärenten Komplexität werden bei kontinuumsbasierten Methoden in aller Regel formelle Optimierungsverfahren eingesetzt.Ein weiterer wichtiger Unterschied ist, dass der Pseudostarrkörperansatz notgedrungen zu Verschiebungsfeldern führt, die stückweise linear sind. Kontinuumsbasierte Ansätze sind hingegen nicht darauf beschränkt und erlauben daher beliebige Verformungsmuster. Bekannte, kontinuumsbasierte Methoden beschränken sich hauptsächlich auf die Synthese von Mechanismen mit einem Pseudolaufgrad. Der Pseudolaufgrad eines nachgiebigen Mechanismus entspricht der Anzahl der unabhängigen kinematischen Größen, die vorgegeben werden müssen, um die Verformung des Mechanismus mit ausreichender Genauigkeit statisch zu kontrollieren. Es mangelt an generell anwendbaren, kontinuumsbasierte Methoden, die explizit Mechanismen mit mehrfachem Pseudolaufgrad generieren können. Die im Rahmen des Projekts zu erarbeitende Methodik soll diesen Mangel beheben. Zudem soll die Methodik der oben angesprochenen Einschränkung der stückweise linearen Verschiebungsfelder nicht ausgesetzt werden. Die angestrebte Methodik besitzt eine ausgeprägte praktische Relevanz für die Anwendung auf umströmte Körper mit veränderlicher Geometrie und für sonstige formvariable Strukturen, wie formanpassbare Sitz- und Liegeflächen, sowie für klassische Übertragungsaufgaben, wie sie beispielsweise in der Robotik und im Allgemeinen in der Automatisierungstechnik anzutreffen sind.

Schwingungsreduktion durch Energietransfer mittels Formadaption

Fördermittelgeber:	DFG
Forschungsvereinigung:	SPP 1897
Laufzeit:	36 Monate
Startzeitpunkt:	Jan 2017
Bearbeiter:	Alexander Nowak
Weiterführende Information:	DFG-Projekt

Leichtbau ist eine der wesentlichen Aufgaben im Entwurfsprozess. Das Ziel ist dabei die Reduktion der Bauteilmassen um Kosten, Energie oder andere Ressourcen bei der Herstellung oder im Betrieb zu sparen. Jedoch sind leichte Strukturen auch anfällig für unerwünschte Schwingungen. Diese Schwingungen müssen daher häufig reduziert werden, um sowohl die Struktur als auch ihre Umgebung vor Schäden zu schützen und die Lebensdauer der Struktur zu erhöhen. Eine Schwingungsreduktion kann durch passive, semi-aktive oder aktive Maßnahmen erreicht werden. Dabei meint passiv, dass keine Energie von außen zugeführt werden muss, während semi-aktive und aktive Maßnahmen äußere Energie benötigen, um entweder die Dissipation zu kontrollieren oder der Schwingungsbewegung direkt entgegen zu wirken. Da aktive Maßnahmen meist nicht auf Dissipation beruhen, fallen sie nicht in den Bereich des ausgeschriebenen Schwerpunktprogramms und werden daher hier auch nicht weiter betrachtet. Auf dem Gebiet der passiven und semi-aktiven Maßnahmen gibt es zwei grundsätzliche Möglichkeiten zur Schwingungsreduktion, nämlich zum einen Dämpfung, was die Dissipation kinetischer Energie in eine andere Energieform meint, und zum anderen Tilgung, was den Transfer kinetischer Energie aus einer kritischen Mode in eine unkritische Mode bezeichnet.Der hier vorgeschlagene Zugang kombiniert die Konzepte der Dämpfung und der Tilgung in neuartiger Weise, indem die Funktionalität eines gedämpften Tilgers in eine formadaptive Struktur integriert wird. Durch dynamische Adaption der Steifigkeit einer schlanken, balkenartigen Struktur durch Formadaption des Querschnitts soll kinetische Energie aus den kritischen, tieffrequenten Biegemoden in eine speziell entworfene, hochfrequente Tilgermode übertragen werden, um dort dann optimal gedämpft zu werden. Das optimale Design des formadaptiven Mechanismus und der Tilgermode soll im Rahmen nachgiebiger Festkörpermechanismen erfolgen, während die optimale Dissipation durch angepasste Reibdämpfer.