Differentialgeometrie / Differential geometry (4V/2Ü)

Vorlesung mit Übungen / Lecture with exercise class, Sommer 2022

Upon request, this course will be held in English. Please send an email if you are interested in this option.

Im Zentrum dieser Vorlesung steht die Analysis auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Da diese keine Vektorräume sind, müssen einige Begrifflichkeiten angepasst werden. So tritt an die Stelle der Ableitung der Zusammenhang. Geraden werden durch lokal kürzeste Kurven, sogenannte Geodätische ersetzt.

Weiterhin helfen verschiedene Krümmungsbegriffe bei der Untersuchung einer Mannigfaltigkeit, z. B. die Gauß-Krümmung. Besonders interessant sind Aussagen, die eine Verbindung zwischen geometrischen und topologischen Eigenschaften einer Mannigfaltigkeit herstellen. So hängt dem Satz von Gauß-Bonnet zufolge das Mittel der Gauß-Krümmung einer geschlossenen kompakten zweidimensionalen orientierbaren Fläche nur von der Euler-Charakteristik ab, ist also durch die topologische Gestalt der Fläche vollständig bestimmt.

Inhaltsübersicht

• Parametrisierte Flächenstücke, erste Fundamentalform
• Gauß- und Weingarten-Abbildung, Krümmung, zweite Fundamentalform
• Isometrien, Theorema egregium, Gauß-Gleichung
• Paralleltransport, Geodätische
• Der Satz von Gauss-Bonnet und seine Anwendungen, Euler-Charakteristik
• Riemannsche Mannigfaltigkeiten
• Der Laplace-Beltrami-Operator
• Zusammenhang und Krümmung
• Die Geometrie von Untermannigfaltigkeiten
• Geodätische und Jacobifelder