Geometrie von Flächen
Themenvorschläge zum Computerpraktikum im Sommer 2022
In diesem Semester geht es um die Darstellung und Berechnung von Flächen im dreidimensionalen Raum. Je nach Interessenlage können Beispiele für eine spezielle Klasse von Flächen berechnet werden oder Werkzeuge für die Untersuchung allgemeiner Flächen bereitgestellt werden.
Minimalflächen
Experimente mit Seifenhäuten liefern faszinierende Beispiele für Flächen, deren mathematische Beschreibung viele Impulse für die Entwicklung der Analysis im 20. Jahrhundert geliefert hat.
Minimalflächen sind dadurch charakterisiert, dass ihre mittlere Krümmung, also die Summe der beiden Hauptkrümmungen, in jedem Punkt verschwindet. Die nebenstehende Abbildung zeigt die Enneper-Fläche.
Ziel ist die Implementierung der Darstellungsformel von Weierstraß, mit deren Hilfe sich viele Minimalflächen konstruieren lassen.
Untersuchung parametrisierter Flächen
Zu Punkten einer gegebenen Fläche lassen sich verschiedene Größen berechnen, hierzu gehören die Tangentialebene, der Normalenvektor sowie erste und zweite Fundamentalform und die Hauptkrümmungen.
Von besonderem Interesse sind spezielle Kurven auf Flächen, etwa lokal kürzeste Linien (Geodätische, siehe Abbildung), Krümmungslinien und Asymptotenlinien, die approximiert und visualisiert werden sollen.
| Literatur | do Carmo: Differential geometry of curves and surfaces (Prentice-Hall 1976; Dover Publications 2016) deutsche Übersetzung: Differentialgeometrie von Kurven und Flächen (Springer 1983) Eschenburg, Jost: Differentialgeometrie und Minimalflächen (Springer 2014) Kühnel: Differentialgeometrie (Springer 2013) |
| Dozent | Philipp Reiter, Raum C46.719, +49 371 531…, philipp.reiter@… Sprechstunde nach Vereinbarung |
| Bitte beachten Sie auch die weiteren Hinweise zum Computerpraktikum. | |
| Voraussetzungen | Grundvorlesungen in Analysis und Linearer Algebra. Der parallele Besuch der Vorlesung über Differentialgeometrie ist hilfreich, aber nicht zwingend erforderlich. |
| Aufbauend auf das Praktikum kann eine Bachelorarbeit vergeben werden. |