Dynamische Systeme / Dynamical systems (4V/2Ü)
Vorlesung mit Übungen / Lecture with exercise class, Sommer 2024
Hinweis
Die Übungen beginnen bereits in der ersten Vorlesungswoche, also am 2. April.
Upon request, this course will be held in English. Please send an email ahead of the first meeting if you are interested in this option.
Wie breiten sich Infektionskrankheiten aus? Wer gewinnt beim Räuber-Beute-Wettbewerb? Kann man das \(N\)-Körper-Problem lösen? Was haben Wettervorhersagen mit Chaos zu tun?
Viele Phänomene in Naturwissenschaften und Technik lassen sich durch Differentialgleichungen beschreiben. Im einfachsten Fall sind dies gewöhnliche Differentialgleichungen, die eine von nur einer reellen Veränderlichen abhängige Lösung besitzen. Häufig betrachtet man Anfangswertprobleme, die einen Startwert der Lösung an einer festgelegten Stelle vorschreiben. In diesem Kontext stellt sich die Frage, welche Auswirkungen kleine Störungen dieses Startwerts auf den Verlauf der Lösung haben. Dies führt auf verschiedene Stabilitätskonzepte.
Diese Vorlesung ist in gewisser Weise eine Fortsetzung der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen. Konkret werden wir uns mit autonomen Systemen beschäftigen, die durch stetig differenzierbare Vektorfelder \(\Phi:U\to\mathbb R^n\) für offene Mengen \(U\subset\mathbb R^n\) gegeben sind. Gegenstand der Untersuchung sind auf (maximalen) Intervallen \(I\) definierte Lösungen \(X:I\to\mathbb R^n\) des Gleichungssystems \[ \dot X(t) = \Phi(X(t)). \] Weniger als die konkrete Gestalt von Lösungskurven sind deren qualitative Eigenschaften von Interesse. Dies betrifft etwa die Frage, ob die Lösungskurven unbeschränkt oder periodisch sind und ob bzw. gegen welche Objekte sie für \(t\to\pm\infty\) konvergieren.
Während sich das Verhalten dynamischer Systeme in zwei Dimensionen noch relativ übersichtlich ausnimmt, treten für \(n\ge3\) Situationen auf, in denen eine sehr starke Abhängigkeit von Anfangsdaten bzw. Parametern vorliegt, verbunden mit einem erheblichen Wachstum von Fehlern, die Aussagen über Langzeitverhalten erschwert oder unmöglich macht. In diesem Fall spricht man von chaotischem Verhalten.
| Dozenten | Philipp Reiter, Raum C46.719, +49 371 531…, philipp.reiter@… Elias Döhrer, Raum C46.715, +49 371 531…, elias.doehrer@… Sprechstunde nach Vereinbarung |
|---|---|
| Termine | Vorlesung und Übung finden als Präsenzveranstaltungen statt. Bitte melden Sie sich in Opal an. |
| Voraussetzungen | Grundvorlesungen in Analysis und Linearer Algebra sowie Vektoranalysis. Weitere analytische Vorkenntnisse, insbesondere gewöhnliche Differentialgleichungen, sind hilfreich, aber nicht zwingend erforderlich. |
| Zielgruppe | Die Vorlesung richtet sich in erster Linie an Studierende der mathematischen Bachelor-/Masterstudiengänge; andere Interessenten sind nach Absprache ebenfalls willkommen. |
| Übungen | Wöchentlich werden Übungsaufgaben gestellt und besprochen; die Übungen beginnen in der ersten Vorlesungswoche. |
| Modulprüfung | Mündliche Prüfung (Details werden in der Vorlesung bekanntgegeben) |
| Literatur |
Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen (Teubner 42004) Hirsch, Smale, Devaney: Differential equations, dynamical systems, and an introduction to chaos (AP 32013) Peitgen, Jürgens, Saupe: Chaos and Fractals (Springer 22004) Prüss, Wilke: Gewöhnliche Differentialgleichungen und dynamische Systeme (Birkhäuser 22019) Teschl: Ordinary differential equations and dynamical systems (AMS 2012) Verhulst: Nonlinear differential equations and dynamical systems (Springer 21996) Wiggins: Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos (Springer 22003) |
| Aufbauend auf diese Vorlesung können Examensthemen vergeben werden. |