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Fakultät für Mathematik
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Die Maus und ihr Käse - (Juni 2017)

Die Mathe-Maus Margit hat ein Problem. Sie hat einen Käsewürfel, der aus \(3\times3\times3\) kleineren Käseswürfeln zusammengesetzt ist. Am liebsten würde sie sich das leckerste Stück, also das in der Mitte, bis zum Schluss aufheben, sie weiß aber nicht wie. Dabei startet sie ihre "Fresstour" in einer Ecke. Sie kann sich immer nur in einen benachbarten Würfel durchfressen.

Kannst du der Mathe-Maus Margit helfen einen Pfad zu finden, bei dem sie sich das mittlere Stück bis zum Schluss aufheben kann?

Hilfe: Wenn dir die Vorstellung in 3 Dimensionen schwer fällt, frage dich, wie das Problem mit einer 2-dimensionalen Maus und einer \(3 \times 3\) Käseplatte aussieht?

Zusatzfrage: Wie sieht das Problem mit einer \(n\)-dimensionalen Maus und einem \(n\)-dimensionalen Käsewürfel mit den Abmessungen \(3 \times 3 \times \ldots \times 3\) aus?

Münzwägeanstalt - (Mai 2017)

Lösung
Zwergli hat dreizehn identisch anmutende Münzen, die auch bis auf eine das gleiche Gewicht haben. Aus seiner Uni-Ausbildung weiß er, dass man aus 13 Münzen, von denen eine ein besonderes Gewicht hat, die besondere Münze mit nur drei Wägungen einer Balkenwaage bestimmen kann. Die Münzwägeanstalt der Zwerge (welche die einzige ausreichend genaue Balkenwaage enthält) ist allerdings sehr bürokratisch: Will er sie nutzen, muss er die Münzen einzeln verpackt und benannt abgeben, und für jede der zu beantragenden Wägungen festlegen, welche Münzen auf welcher Seite der Balkenwaage liegen sollen. Er erhält die Ergebnisse als Folge der Zeichen g (gleichschwer), l (links schwerer) und r (rechts schwerer). Da er nicht drei Anträge schreiben will, denkt er darüber nach, einen Wägeplan gleich für alle drei Wägungen zu schreiben, kann dabei aber für die späteren Wägungen nicht auf die Ergebnisse der vorhergehenden zurückgreifen.

Ist es Euch trotzdem möglich, für Zwergli einen solchen Wägeplan für drei Wägungen zu erstellen, mit dem er die besondere Münze aus 13 Münzen sicher herausfindet?

Zusatzfrage: Aus wie vielen Münzen kann man die besondere mit einem solchen Wägeplan für \(w\) Wägungen ermitteln?

Das Schloss und die Prinzessin - (April 2017)

Lösung
In einem Schloss wohnt eine Prinzessin, die 4 nebeneinanderliegende Schlafzimmer besitzt. Jede Nacht sucht sich sich eines davon aus, um darin zu schlafen. Dabei darf sie nie in zwei aufeinanderfolgenden Nächten im selben Zimmer schlafen, sondern muss in eines der direkt angrenzenden ausweichen. Schläft sie in einer Nacht in Zimmer 1, kann sie in der nächsten Nacht nur in Zimmer 2 schlafen, danach kann sie zwischen Zimmer 1 und Zimmer 3 wählen usw.

Jede Nacht kommt ein Prinz vorbei, der die Prinzessin gerne treffen würde. Von außen ist nicht ersichtlich, in welchem Zimmer die Prinzessin schläft. Er darf sich jedoch ein Zimmer aussuchen, in das er hineinschaut. Ist die Prinzessin dort, freut sich der Prinz. Ist sie nicht in dem Zimmer, kommt der Prinz in der darauffolgenden Nacht wieder und darf es erneut versuchen.

Könnt ihr dem Prinzen garantieren, dass er die Prinzessin in höchstens \(N\) Nächten findet?

Zusatzfrage: Wie lange würde der Prinz maximal benötigen, um eine Prinzessin in einem Schloss mit \(M\) Schlafzimmern zu finden? Denn welcher Prinz hätte nicht gerne eine Prinzessin mit \(M\) Schlafzimmern.

Das Rätsel wurde inspiriert durch das Video von standupmaths auf Youtube.

Letzte Chance - (März 2017)

Lösung
In der Numerik-Klausur haben vier Pinguine nicht die notwendige Punktzahl erreicht. Alle vier werden danach gemeinsam zum Professor gebeten, der ihnen noch eine Chance gibt die Prüfung zu bestehen:

"Ich werde Ihnen gleich einen Zettel mit Ihrer erreichten Punktzahl auf den Rücken kleben, sodass jeder die Punktzahl der anderen, aber nicht seine eigene sieht. Wenn auf mein Zeichen, ohne weitere Absprache, die Pinguine mit der höchsten und dritthöchsten Punktzahl den gleichen Flügel heben und gleichzeitig die Pinguine mit der zweithöchsten und der niedrigsten Punktzahl den anderen Flügel heben, dann lasse ich Sie alle die Klausur bestehen. Es sei noch gesagt, dass Sie alle unterschiedliche Punktzahlen erreicht haben und, dass Sie sich vorher beraten dürfen."

Gibt es eine Strategie, sodass die Pinguine doch noch alle bestehen?

Walzerwunder? - (Februar 2017)

Lösung
Auf dem Boden eines Tanzsaales ist ein nicht überschlagenes Vieleck eingezeichnet. Wegen recht geringer Auslastung der Tanzfläche gelingt es einem Paar beim Wiener Walzer, nacheinander in jeweils einen Kreisbogen um jede Ecke zu tanzen, wobei die Reihenfolge der abgetanzten Ecken gerade ihrer Reihenfolge auf der Randlinie des Vielecks gleicht. Die Kreisbögen haben haben dabei jeweils einen Zentriwinkel, der dem doppelten Innenwinkel des Vielecks an der entsprechenden Ecke gleicht. Überrascht stellen sie fest, dass sie nach dem letzten getanzten Kreisbogen genau dort herausgekommen sind, wo sie starteten.

Ist das wirklich so überraschend oder geht das unabhängig von der Wahl des Standortes am Start und der Form des aufgezeichneten Vielecks?

Hungriger Drache #2 - (Januar 2017)

Lösung
Unser Drache hat zehn Zwerge gefangen und sucht nach einem Vorwand um sie verspeisen zu können:

"Liebe Gäste, lasst uns folgendes Spiel spielen. Da Ihr so gerne lustige Hüte aufsetzt, habe ich für euch blaue, rote und grüne Hüte vorbereitet. Jeder von Ihnen bekommt von mir einen dieser Hüte aufgesetzt (ohne dass er ihn sehen kann) und danach stellen Sie sich alle auf einer Treppe auf, sodass jeder nur die Hutfarbe der Zwerge sehen kann, die vor (und damit unter) ihm stehen. Danach darf jeder Zwerg, einer nach dem anderen in beliebiger Reihenfolge, seine Hutfarbe raten.
Die Zwerge, die ihre richtige Hutfarbe erraten, gewinnen einen Freiflug auf meinem Rücken. Die anderen werden zu einem schmackhaften Mittagessen zubereitet."

Die Zwerge erkennen den Ernst der Lage und bitten sich Bedenkzeit aus. Diese wird ihnen unter der Bedingung gewährt, dass der Drache die Beratung mit anhören darf, also in den Plan der Zwerge eingeweiht ist, um die Aufgabe so schwierig wie möglich machen zu können.

Mit welcher Strategie können möglichst viele Zwerge gerettet werden?

Bonusfrage für alle, die das Auswahlaxiom beherrschen:

Diesmal hat der Drache sogar abzählbar viele Zwerge gefangen - und auch eine (nach unten) unendlich lange Treppe. Mit welcher Strategie können wieder möglichst viele Zwerge gerettet werden, wenn diese das Auswahlaxiom beherrschen?

Ellipsen im Einheitskreis - (Dezember 2016)

Lösung
Unser Geometer Thomas hat folgendes Problem: Seien Punkte \(A\), \(B\) im Einheitskreis gegeben, die nicht auf demselben Durchmesser liegen.

Man zeige, dass es genau zwei Ellipsen mit großer Halbachsenlänge \(1\) und Mittelpunkt im Ursprung gibt, die durch \(A\) und \(B\) verlaufen.

Ellipsen.png

Alter der Kinder - (November 2016)

Lösung
Mathematiker A besucht Mathematiker B zu Hause. Dabei entsteht folgendes Gespräch:
A: "Wie alt sind eigentlich deine drei Kinder?"
B: "Wenn man ihr Alter multipliziert, erhält man 72 und wenn man es addiert erhält man unsere Hausnummer."
A: "Das hilft mir jetzt aber noch nicht weiter."
B: "Das weiß ich. Aber mein ältestes Kind mag Schokokekse."
A: "Na dann weiß ich Bescheid!"

Wie alt sind die Kinder von Mathematiker B?

Durchmesser und Sehnen - (Oktober 2016)

Lösung
In einem Kreis mit Radius \(1\) sind endlich viele Sehnen eingezeichnet. Die größte Anzahl an eingezeichneten Sehnen, die ein Durchmesser dieses Kreises gleichzeitig schneiden kann, ist \(k\).

Man beweise, dass die Summe der Längen aller eingezeichneten Sehnen kleiner als \(\pi k\) ist.

Rechteckproblem - (September 2016)

Lösung

Beweise folgende Aussage:

Ein Rechteck, welches aus beliebig vielen Rechtecken mit mindestens einer ganzzahligen Seitenlänge zusammengesetzt werden kann, besitzt selbst wieder mindestens eine ganzzahlige Seitenlänge.

Hungriger Drache - (August 2016)

Lösung
Der Drache hat eine Zwergin und einen Zwerg gefangen und sucht nach einem Vorwand um sie verspeisen zu können:

"Liebe Gäste, lasst uns folgendes Spiel spielen. Ich habe hier ein gewöhnliches 8×8 Schachbrett und 64 normale Münzen mit jeweils Wappen und Zahl. Die Zwergin begleitet mich nach nebenan, wo ich auf jedes Feld des Schachbrettes je eine Münze lege, und zwar je nach meinem Gutdünken mit Wappen oder Zahl oben. Dann suche ich mir mein Lieblingsfeld aus und zeige mit der Kralle darauf. Jetzt sucht sich die Zwergin sich eine Münze aus, die ich dann für sie umdrehe. Nun verlässt die Zwergin das Nebenzimmer durch einen zweiten Ausgang, und der Zwerg kommt herein. Wenn der Zwerg mir mein Lieblingsfeld nennen kann, dann gewinnt ihr einen Freiflug auf meinem Rücken und ich bringe euch, wohin ihr wollt. Falls nicht, gewinne ich und bereite euch zu meinem Mittagessen zu.".

Die Zwerge erkennen den Ernst der Lage und bitten sich Bedenkzeit aus. Diese wird ihnen unter der Bedingung gewährt, dass der Drache die Beratung mit anhören darf, also in den Plan der Zwerge eingeweiht ist, um die Aufgabe so schwierig wie möglich machen zu können.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit können die Zwerge ihre Haut retten?

Dinge gibts, die gibts gar nicht! - (Juli 2016)

Lösung
In der Geometrie kennt man unter anderem platonische, archimedische und Johnson-Körper.
Das sind strikt konvexe Polyeder, also Körper, deren Seitenflächen ausschließlich aus regelmäßigen Polygonen bestehen so dass zwei benachbarte Seitenflächen niemals in einer Ebene liegen. Bei platonischen Körpern müssen alle Seitenflächen und Winkel gleich sein, bei archimedischen verlangt man, dass noch eine besondere Art von Symmetrie vorliegt und der Rest sind Johnson-Körper.
Den Mathematikern sind seit langem alle platonischen, archimedischen und Johnson-Körper bekannt, siehe z.B. die Listen auf Wikipedia:
Platonische Körper
Archimedische Körper
Johnson-Körper .

Nun sind Bilder eines Körpers aufgetaucht, der zwölf Dreiecke, zwölf Fünfecke und zwei Sechsecke als Seitenflächen hat. Augenscheinlich ist er ein Johnson-Körper, aber er ist nicht in den obigen Listen zu finden. Das bedeutet, dass entweder die Mathematiker seit langem etwas übersehen haben oder dass wir euch gerade einen gewaltigen Bären aufbinden.

Was läuft hier schief?

Anti-Mersenne-Zahlen - (Juni 2016)

Lösung

Es seinen m und n zwei ungerade natürliche Zahlen. Man zeige, dass 2mn+1 sowohl durch 2m+1 als auch durch 2n+1 teilbar ist.

Malen ohne Zahlen - (Mai 2016)

Lösung
Jeder Punkt der Ebene wird mit genau einer von zwei Farben (z.B. blau oder rot) angemalt.

Man zeige: Es gibt immer zwei Punkte im Abstand von genau einem Zentimeter, die die gleiche Farbe haben.

Für die etwas anspruchsvolleren gibt es noch eine etwas schwierigere Variante:

Man zeige obige Aussage für den Fall, dass die Ebene in drei Farben angemalt ist.

Und wen der Ehrgeiz nun nicht mehr loslässt, der kann auch beweisen:

Man zeige obige Aussage im Fall von vier Farben.

Verwirrungen auf dem Amt am 1. April - (April 2016)

Lösung
In einer Behörde der Stadt Chemnitz arbeiten in einem Büro drei Brüder. Für den Außenstehenden sehen sie völlig gleich aus und normalerweise arbeiten alle drei sehr zuverlässig.

Nur am 1. April verhalten sie sich etwas sonderbar: Es ist stadtweit bekannt, dass ein Bruder (ein Erster-April-Fanatiker) an diesem Tag auf Ja-Nein-Fragen stets die falsche Antwort gibt. Ein zweiter (ein Erster-April-Muffel) antwortet stets korrekt und der dritte (ein Erster-April-Agnostiker) antwortet an diesem Tag nach Lust und Laune mal falsch und mal richtig.

Sie haben einen neuen Reisepass beantragt. Wie können Sie am 1. April mit nur zwei Ja-Nein-Fragen an je einen der drei Brüder herausfinden, ob der Pass schon abgeholt werden kann?

Zwergentanz - (März 2016)

Lösung
Die Zwerge haben eine interessante Indoor-Lotterie für Gruppen mit mindestens drei Personen auf ihrem Jahrmarkt.

Die Verlosung läuft folgendermaßen ab: Jeder Zwerg kauft ein Los. Das Los wird so an der Zwergenmütze befestigt, dass der Träger die Losnummer nicht sehen kann. Die Losnummern sind reelle Zahlen, und keine Zahl wird zweimal verkauft. Im ersten Raum kann sich jeder Zwerg die Losnummern der anderen Teilnehmer anschauen. Von dort aus geht es einzeln weiter in den zweiten Raum, wo jeder Zwerg wählen muss, ob er einen roten oder einen weißen Schal mit in den dritten Raum nimmt. Im dritten Raum dürfen die Teilnehmer dann endlich ihre Losnummer ansehen und müssen sich aufsteigend nach Losnummern sortieren. Gewonnen hat die ganze Gruppe, wenn im dritten Raum keine zwei Teilnehmer mit gleicher Schalfarbe nebeneinander stehen.

Natürlich darf in den Räumen eins und zwei nicht kommuniziert werden.

Wie können die Zwerge in dieser Lotterie gewinnen?

Pfannkuchen essen - (Februar 2016)

Lösung
Die Brüder Kalle und Klaus essen für ihr Leben gerne Pfannkuchen (mancherorts auch als "Berliner" oder "Krapfen" bekannt). Darum kaufen sie bei der Bäckerei Kurt eine Tüte mit n köstlichen, mit Pflaumenmus gefüllten Pfannkuchen. Der Bäcker legt noch einen zusätzlichen Pfannkuchen in die Tüte und verkündet, dass nun auch ein Scherz-Pfannkuchen dabei sei, welcher mit Chili-Senf-Knoblauchmayonnaise gefüllt wurde.

Zu Hause können die beiden an den Pfannkuchen keine äußerlichen Unterschiede feststellen. Die einzige Möglichkeit, den falschen zu identifizieren, ist hineinzubeißen. So machen sie ein Spiel daraus: Abwechselnd isst jeder einen Krapfen und sobald einer den Scherzpfannkuchen erwischt hat, hat er verloren.

Kalle lässt Klaus den Vortritt und denkt: "Soll der mal anfangen, vielleicht erwischt er ja gleich beim ersten Versuch den falschen!"

Klaus ist schon ein Jahr älter und kennt sich mit Wahrscheinlichkeiten aus. Er denkt: "Es ist besser, wenn ich anfange! Die Wahrscheinlichkeit, dass ich beim ersten Versuch den Ekelpfannkuchen erwische ist doch winzig klein. Da hat der Kalle ein höheres Risiko, wenn er in den zweiten beißen muss, denn ich habe dann ja schon den ersten guten Pfannkuchen weggegessen."

Beide wissen, dass man das auch ausrechnen könnte, aber hey, einen Berg Pfannkuchen aufzuessen macht einfach zu viel Spaß!

Wer von den beiden hat die schlechtere Strategie gewählt?

Das heißt, wer hat das größere Risiko, den Chili-Senf-Knoblauchmayonnaisepfannkuchen zu erwischen?

Kreissehnen - (Januar 2016)

Lösung
In einem Kreis werden zwei Sehnen gezogen, die sich im Kreisinneren schneiden. Der Schnittpunkt teilt jede Sehne in je zwei Strecken, deren Längen mit x und y beziehungsweise mit p und q. bezeichnet werden.

Man zeige: \(xy=pq\).

Kreissehnen.jpg

Der algebraische Kalender - (Weihnachten 2015)

Lösung
Wir wollen einen schicken und kreativen Kalender für das Jahr 2016 basteln. Dazu verteilen wir die Zahlen eins bis zwölf, stellvertretend für die zwölf Kalendermonate, auf dem Ziffernblatt einer alten Uhr. Da wir aber Mathematiker sind, wollen wir, dass für je drei benachbarte Zahlen a, b und c (im Uhrzeigersinn gezählt) folgende Gleichung erfüllt ist:

a2 = b · c (mod 13)

(Der Ausdruck ``mod 13'' bedeutet, dass auf jeder Seite der Gleichung der Rest beim Teilen durch 13 betrachtet wird.)

Kann es einen solchen Kalender geben? Und wenn ja: wie viele Möglichkeiten haben wir, die Zahlen anzuordnen?

Flächeninhalt von Dreiecken - (Dezember 2015)

Lösung
Eine Universität stellt Studienbewerberinnen und -bewerbern folgende Aufgabe bei der Aufnahmeprüfung.

Die Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks misst 10 Zentimeter, und die dazu senkrechte Höhe misst 6 Zentimeter. Man ermittele den Flächeninhalt.

Die meisten sind der Aufgabe gewachsen berechnen als Antwort 30 Quadratzentimeter. Nur die angehenden Mathematikerinnen und Mathematiker schafften es nicht, diese Aufgabe zu lösen. Woran lag das?

Fehlersuche - (November 2015)

Lösung
Caros Bachelorarbeit ist fast fertig, und Astrid und Beate lesen unabhängig voneinander Korrektur. Astrid findet 12 Fehler. Beate findet 8 der Fehler, die Astrid gefunden hat, und noch 8 weitere.

Schätze, wie viele unentdeckte Fehler sich noch in Caros Arbeit verstecken!

Neue Rätselideen sind gerne gesehen! Kontakt: gerd.wachsmuth@...

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