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Fakultät für Mathematik
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Monatsrätsel

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Wägeproblem - (Mai 2022)

Balkenwaage, nach rechts geneigt
Mit einer Balkenwaage kann man die Größe der Massen auf der linken und rechten Schaale vergleichen. Mit Hilfe von Gewichten mit geeichter Masse kann man so die unbekannte Masse eines Objekts mehr oder weniger exakt bestimmen.
Wir wollen mit möglichst wenig geeichten Gewichten auskommen und ganzzahlige Massen (in kg) exakt bestimmen können.

Wieviele geeichte Gewichte sind nötig, um solche Massen bis 40kg exakt auswägen zu können?
Welche Massen müssen sie haben?

Halbe Sachen machen - (April 2022)

kreisförmige Fortschrittsanzeige 50 Prozent
Lösung
Viele Dinge lassen sich aufteilen, Tätigkeiten auch erstmal nur zur Hälfte erledigen. Die andere Hälfte macht man später, die geht aber genauso. Beim Händewaschen fällt das zugegeben schwer.
In der Mathematik erledigen Funktionen viele Dinge, sie können beispielsweise den Nachfolger einer Zahl bilden oder sie auch verdoppeln.
Die reellen Zahlen zeichnen sich dadurch aus, dass man da die genannten Aufgaben auch nur zur Hälfte erledigen kann, addiert man heute 1/2 und morgen nochmal, ist man beim Nachfolger angekommen, wenn man bei einer natürlichen Zahl startet.
Multipliziert man heute mit der Quadratwurzel von Zwei und das Ergebnis morgen nochmal, hat man insgesamt verdoppelt.
Kann man die Nachfolgerbildung oder die Verdopplung aber vielleicht auch schon in den natürlichen Zahlen zur Hälfte erledigen?

Wieviele Funktionen f gibt es, die natürliche Zahlen auf natürliche abbilden und f(f(n))=n+1 erfüllen?
Wieviele Funktionen g gibt es, die natürliche Zahlen auf natürliche abbilden und g(g(n))=2n erfüllen?

Selbstberührer - (März 2022)

Abbildung zweier sich berührender Figuren
Lösung
Ellipsen, die keine Kreise sind, haben folgende Eigenschaft nicht: Nimmt man eine Ellipse, dreht sie um 90 Grad um ihr Symmetriezentrum und verschiebt sie um einen Vektor der Länge 1, so berührt das entstehende Bild stets das Original (unabhängig von der Verschiebungsrichtung).

Findet Ihr eine Figur verschieden vom Kreis, die an Stelle von Ellipsen diese Eigenschaft hat?

Palindrom - (Februar 2022)

Abbildung des Datums 22.02.2022
Lösung
Bei frei wählbaren Familienfeiertagen (etwa dem Hochzeitstag) kann es sehr unvorteilhaft sein, das Datum zu vergessen. Auf Nummer sicher kann man gehen, wenn man ein besonderes Datum auswählt. Zum Beispiel hat der 22.02.2022 in diesem Monat eine Ziffernfolge, die aus zwei Nullen und haufenweise Zweierpärchen besteht, was also auch von der Symbolik her ein idealer Hochzeitstag ist.
Außerdem ist die Ziffernfolge ein Palindrom, also "´rum wie ´num" bzw. vorwärts und rückwärts die gleiche -- ein solcher Palindromtag ist ein schönes Symbol für Gleichberechtigung. Wenn man das Datum im Format "dd.mm.jjjj" schreibt, ergeben sich immer mal wieder Palindrome.

Der wievielte Palindromtag in der Geschichte ist der 22. Februar? Wann wird danach der nächste Palindromtag sein?

Ergeben sich die Monate aus dem Jahr? - (Januar 2022)

Jahreszahl 2022
Lösung
Letztes Jahr konnte man alle Monatsnummern nur durch Hinzufügen von Klammern, Rechenoperationszeichen "+", "-", "·" und "/" sowie dem Fakultätszeichen "!" aus der Ziffernfolge 2 0 2 0 der Jahreszahl machen. Beispiele findet man in der Lösung des damaligen Januarrätsels. Wir schreiben nun das Jahr 2022.

Lassen sich alle Monatsnummern auf die beschriebene Art aus der Ziffernfolge 2 0 2 2 erzeugen? Wo braucht man das Fakultätszeichen?

Weihnachtskugel - (Dezember 2021)

Abbildung einerWeihnachtskugel
Lösung
Paul bemalt Weihnachtskugeln mit Kreisen.
Karl bemerkt, dass Paul fünf genau gleichgroße Kreise (überschneidungsfrei) auf einer Kugel untergebracht hat.
Obwohl Ulla das nur im Nachbarzimmer hört und gar nicht weiß, wie groß Kugel und Kreise sind, stichelt sie durch die offene Tür: "Von der Größe hättest Du doch auch sicher auch sechs Kreise auf der Kugel unterbringen können!"

Kann sich Ulla da so sicher sein?
Oder könnten die Kreise auch zu groß sein, um sechs davon auf eine solche Kugel zu malen?

Minisudoku - (November 2021)

Abbildung eines Minisudokus
Lösung
Das herkömmliche Sudoku besteht aus 3x3 Quadraten aus je 3x3 Feldern, die zusammen ein Quadrat aus 9 Zeilen und 9 Spalten bilden. Zusätzlich gibt es 9 unterschiedliche Symbole (meist Ziffern 1 bis 9), die so in die Felder eingetragen werden sollen, dass keine Zeile, keine Spalte und keines der 3x3 Quadrate aus 3x3 Feldern zwei gleiche Symbole enthält.
Für unser Mini-Sudoku ersetzen wir alle Zahlen "3" durch "2" und entsprechend "9" durch "4". Denken wir uns als die vier Symbole "+", "-" , "*" und "/". Ein komplett ausgefülltes Minisudokutableau ist links abgebildet.

In wie viele Felder müssen mindestens Symbole eingetragen sein, damit das Minisudoku eindeutig lösbar ist?

Im Gurkenlager - (Oktober 2021)

Abbildung mehrerer Gurken
Lösung
Inzwischen ist auch die Gurkenernte bei Freilandgurken länger vorbei und unverarbeitet eingelagerte Gurken werden langsam schrumpelig. Frisch bestehen Gurken zu 97% aus Wasser.

Wie viel Prozent Masse verlieren sie, wenn ihr Wasseranteil durch Verdunstung auf 94% fällt?

Angenommen 90% der geernteten Gurken waren von der extra auf Lagerfähigkeit gezüchteten Sorte "Immerfrisch", die anderen 10% von der alten Sorte "Frischfrisch" und es gibt inzwischen 0,1% Lagerverlust bei den Gurken, wobei gleichviele Gurken beider Sorten aussortiert werden mussten.

Wie viele von 100000 der "Immerfrisch"-Gurken wurden aussortiert?
Wie viele von 100000 der "Frischfrisch"-Gurken wurden aussortiert?

Fischhandel - (September 2021)

Abbildung von Klippfischen
Lösung
Für Klippfisch und Stockfisch gab es ein eigenartiges altes Zählmaß:
Ein Hundert Klippfische sind nicht etwa einhundert Klippfische, sondern einhundertundvierundzwanzig Stück.
In einem Großhandelsmarkt gibt es einen Rabatt beim Kauf von Klippfischen, wenn man die Frage, "Wie viele Klippfische sind auf einer Palette?" korrekt beantworten kann.
Kim weiß, dass auf einer Palette zwischen einem und zwei Hundert Klippfische in Kühlkisten verpackt sind, wobei jede Palette natürlich mehrere Kisten und jede Kühlkiste mehrere (aber jeweils gleichviele) Klippfische enthält.
Wüsste Kim die richtige Antwort, könnte Kim sich die Anzahlen der Kisten Pro Palette und der Fische pro Kiste überlegen.

Wie viele Kisten sind auf einer Palette, wie viele Fische sind in einer jeden Kiste und wie viele Fische sind auf der Palette?

Schnapszahl - (August 2021)

Abbildung einer 66
Lösung
Schnapszahlen sind beliebte Zahlen bei deren Auftreten man sich einfach mal freut. Es handelt sich um Zahlen mit zwei oder mehr gleichen Ziffern.
Mathematiker haben diesbezüglich einen schönen Beruf, denn sie kennen mehr Stellenwertsysteme als nur das Dezimalsystem und deswegen sind alle natürlichen Zahlen ab 3 irgendwie Schnapszahlen für sie. Wieso eigentlich?
Das ändert sich, wenn man von einer Schnapszahl zur größeren Freude verlangt, dass sie (im geeigneten Stellenwertsystem zu einer natürlichen Basis größer als 1) aus zwei gleichen Ziffern größer 1 bestehen soll.

Welche Zahlen sind dann leider keine Schnapszahlen?

Die Schnecke auf dem Gummiband - (Juli 2021)

Abbildung einer Schnecke
Lösung
Eine unendlich geduldige Schnecke möchte über eine Schlucht gelangen, die ein Troll mit einem (unendlich dehnbaren) Gummiband als Brücke überspannt hat. Zu Beginn ist das Gummiband 2 Meter lang.
Die Schnecke startet auf einem Ende des Gummibands und kriecht in der Taunässe jeder Nacht zehn Zentimeter auf dem Gummiband weiter. Tagsüber drückt der Troll die Seiten der Schlucht um einen Meter auseinander, sodass das Gummiband insgesamt einen Meter länger wird, wobei es sich ganz gleichmäßig ausdehnt.

Wird die Schnecke je das andere Ende des Gummibandes erreichen?

Bleistift - (Juni 2021)

Comiczeichnung Maria mit Bleistift
Wenn Maria (Name geändert) Matherätsel strickt, hat sie gerne einen gespitzten Bleistift dabei. Ihrer war ungespitzt ein gerades Prisma mit einer Grundfläche, die ein regelmäßiges Sechseck der Kantenlänge K (aus Datenschutzgründen anonymisiert) ist. Ihr Bekannter würde ihn sechseckig nennen, obwohl er ungespitzt 12 Ecken hatte (der Bleistift, nicht der Bekannte).
Nun ist der Bleistift aber gespitzt und hat die Länge H (Maria würde Höhe dazu sagen, aber ihr Bekannter findet, dass ein Bleistift nicht hoch ist, sondern lang), und zwar von der Spitze bis zur Mitte der Grundfläche gemessen. Die Grundfläche hat sich durch das Spitzen natürlich nicht geändert, nur die ursprüngliche Deckfläche ist weg, ebenso wie Teile der Mantelflächen.
Der verwendete Spitzer würde einen runden Bleistift so zuschneiden, dass der beschnittene Teil ein perfekter gerader Kreiskegel ist, bei dem der Durchmesser der Grundfläche halb so groß ist, wie seine Höhe.
Maria betrachtet also Ihren Bleistift und grübelt nach einem neuen Matherätsel. Dabei bemerkt sie: Es liegt doch ein Rätsel offen vor ihr!

Welches Volumen hat Marias Bleistift?

Edle UG-Worte - (Mai 2021)

Abbildung eines Fragezeichens
Lösung
Die "UG"-Sprache kommt nur mit den Buchstaben "U" und "G" aus. Man kann sich in ihr einfach, aber auch beliebig veredelt ausdrücken. Die Veredelung eines Wortes aus "U" und "G" geschieht buchstabenweise von links nach rechts. Steht im Originalwort an der aktuellen Position ein "U", schreibt man "G", sofern das bisher entstandene Teilwort gerade viele Buchstaben hat, sonst schreibt man ein "U". Ist der aktuell zu veredelnde Buchstabe des Originalwortes ein "G", so schreibt man "UG", sofern das bisher entstandene Teilwort gerade viele Buchstaben hat -- und ansonsten "GU".
Wenn man die Zeichenkette "U" also beispielsweise viermal veredelt, ergeben sich nacheinander die Zeichenketten "G", "UG", "GGU", und "UGUGG". Bezeichnen wir mit b(k) für ein gegebenes k die Anzahl der Buchstaben, die das Wort hat, welches sich durch k-maliges Veredeln von "U" ergibt, ergibt sich also für k von Null beginnend an die Folge b(k) zu 1,1,2,3,5,... Nun stellt sich die Frage:

Gibt es eine einfache Bildungsvorschrift für die Folge?

Platzkarten - (April 2021)

Abbildung Opernplatz Chemnitz
Lösung
In der Oper wird ein neues Stück gegeben. Die Premiere ist ausverkauft. Es gibt nur Platzkarten. Als der wichtigste Ehrengast eintrifft, sind schon einige auf Ihren Plätzen. Leider hat der Ehrengast seine Platzkarte vergessen und setzt sich zufällig auf einen freien Platz (wobei ihm völlig egal ist, auf welchen; es könnte zufällig auch der richtige sein). Die nachfolgend eintrudelnden Gäste nahmen es mit den Platznummern genauer:
Wenn der Platz mit ihrer Nummer nicht besetzt ist, setzten sie sich darauf.
Sonst allerdings halten sie es genauso, wie der Ehrengast und setzen sich zufällig auf einen noch freien Platz (wobei wieder völlig egal ist, auf welchen). Als der letzte Gast eintrifft, ist freilich nur noch ein Platz frei.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der freie Platz sein eigener, wenn der Ehrengast noch 128 freie Plätze zur Wahl hat?

Nun ist 128 zwar eine recht nette Zahl, aber niemand weiß im voraus, wie viele freie Plätze der Ehrengast zur Auswahl hat.

Wie ändert sich das Ergebnis, wenn der Ehrengast eine andere Anzahl an freien Plätzen zur Auswahl hat?

Die falsche Waage - (März 2021)

Abbildung einer Balkenwaage
Lösung
Eine typische Form des Wägeproblems ist jene, bei der man eine gewisse Anzahl an identisch erscheinenden Kugeln (beispielsweise 13) hat, von denen eine besonders ist, aber nur von Ihrer Masse her. Mittels einer Balkenwaage soll man dann vermöge möglichst weniger Wägungen ermitteln, welche das ist und ob sie im Vergleich zu einer anderen leichter ist.
Auch Sören wollte so ein Problem lösen und hat schon alle Wägungen gemacht, die Sören die Antwort ermöglichen.
Da erfährt Sören von Laurin, dass die benutzte Waage leider ein Scherzartikel ist; Gleichheit zwar korrekt anzeigt, aber bei Ungleichgewicht die Waagschale der leichteren Seite absinkt.
Sören ärgert sich: "Da kann ich ja von vorne anfangen."
Wir wissen zwar nicht, mit welchen Wägungen Sören das Problem löste, fragen aber trotzdem:

Ist das Ergebnis trotzdem aus den bisherigen Wägungen ablesbar, unabhängig davon, welche Wägungen Sören konkret ausgeführt hat?

Fünfeckfläche - (Februar 2021)

Abbildung gefaltetes Papier
Lösung
Ein Rechteck im A3-Format entsteht aus einem Rechteck im A0-Format durch Zusammenfalten, indem jeweils die kurzen Kanten aufeinandergefaltet werden, wobei dies 3 mal nacheinander ausgeführt wird. Außerdem ist es ähnlich zum Ausgangsrechteck im A0-Format. Bekannt ist auch, dass das Rechteck vom A0-Format eine Fläche von genau einem Quadratmeter hat.
Wir falten nun unser Rechteck im A3-Format zu einem Fünfeck, indem zwei gegenüberliegende Ecken aufeinandergefaltet werden.

Welchen Flächeninhalt hat das entstehende Fünfeck?

Ergeben sich wieder die Monate aus dem Jahr? - (Januar 2021)

Schriftzug 2021
Lösung
Letztes Jahr konnte man alle Monatsnummern nur durch Hinzufügen von Klammern, Rechenoperationszeichen "+", "-", "·" und "/" sowie dem Fakultätszeichen "!" aus der Ziffernfolge 2 0 2 0 der Jahreszahl machen. Beispiele findet man in der Lösung des damaligen Januarrätsels. Wir schreiben nun das Jahr 2021.

Lassen sich dieses wieder Jahr alle Monatsnummern aus der Ziffernfolge der Jahreszahl auf die beschriebene Art und Weise erzeugen? Für welche Monatsnummern ist das Fakultätzeichen notwendig?

Feuerwerk - (Dezember 2020)

Abbildung eines bunten Feuerwerks
Lösung
Zur Sicherheit wird das Silvesterfeuerwerk unserer Zwerge mittels vier in Reihe angeordneter Schalter gezündet, sobald jeder in der richtigen Position steht.
Vier Zwerge bedienen die Schalter:
Der Oberzwerg Vierschroth schaltet immer alle vier gleichzeitig um.
Seine beiden Mitarbeiterzwerge Zweibart und Doppelaxt legen stets jeweils zwei Schalter gleichzeitig um. Während einer von beiden mal die rechten beiden und andermal die linken beiden schaltet, wenn er dran ist, schaltet der andere stattdessen mal die mittleren beiden und andermal die äußeren beiden -- jeweils ganz nach Gutdünken.
Schließlich gibt's da noch den Lehrling Einhart. Wenn der dran ist, schaltet er nur einen der vier Schalter. Auch Einhart lässt sich nicht reinreden, welchen Schalter er gerade betätigen soll.
Der älteste und erfahrenste Zwerg ist Feuerwerkszeremonienmeister. Aus Erfahrung weiß er um die sture Eigensinnigkeit der Zwerge. Leider ist er auch vergesslich. So hat er vergessen, welche Schalter Hinz gleichzeitig betätigt und welche Kunz. Außerdem weiß er nicht mehr, welche Positionen der Schalter die richtigen sind. Offenbar sind das nicht die derzeitigen, denn sonst wäre das Feuerwerk ja schon losgegangen.
Er sucht nun eine Reihenfolge, in der er die Zwerge zum Schalten auffordert, um möglichst schnell das Feuerwerk zu zünden. In seiner Reihenfolge dürfen die Zwerge auch mehrfach vorkommen.

Finde eine möglichst kurze Reihenfolge, um das Feuerwerk sicher zu zünden!

Guter Start - (November 2020)

Bild zweier Zwergenköpfe namens Hinz und Kunz, mit roter Mütze links und grauer Mütze rechts
Lösung
Die Zwerge Hinz und Kunz spielen mal wieder mit Münzen. Diesmal spielen sie folgendes Spiel: Sie fügen abwechselnd 1 bis 10 Münzen einem Haufen (der am Anfang nur vier Münzen enthält -- damit man ihn als Haufen erkennen kann) hinzu.
Wer so schließlich den Haufen auf genau 100 Münzen auffüllt gewinnt den ganzen Haufen.
Hinz eröffnet indem er dem Haufen acht Münzen hinzufügt.

Ist das ein kluger Zug, oder kann Kunz nun den Sieg erzwingen?

Logik - (Oktober 2020)

Abbildung eines pinken Fragezeichens
Lösung
Grundlegend sind die logischen Verknüpfungen "Und" und "Oder" sowie die "Negation". Insbesondere kann man damit auch alle anderen logischen Verknüpfungen zusammensetzen (Für Kenner: Konjunktive Normalform).
Aber es sind eben drei Stück. Geht das auch mit einer? Welche logische Verknüpfung zweier Aussagen genügt, um daraus alle anderen logischen zusammensetzen zu können?

Gib alle Möglichkeiten für eine solche Verknüpfung an!

Münzspiel 2 - (September 2020)

Darstellung der Zwerge Hinz und Kunz, mit einer roten Mütze links und einer grauen Mütze rechts
Lösung
Die Zwerge mögen bekanntlich Gold und spielen in Ihrer Freizeit gerne folgendes Spiel:
Es wird ein sehr großes Quadrat abgesteckt und abwechselnd legt jeder eine Goldmünze in das Quadrat. Da der Glanz des Goldes nicht geschmälert werden darf, dürfen die Goldmünzen sich nicht (auch nicht teilweise) überdecken.
Es beginnt stets der ältere Zwerg, denn gewonnen hat der, welcher als letzter eine Goldmünze legen kann -- und der ältere Zwerg hatte mehr Zeit, Gold zu sammeln und natürlich verliert man, wenn einem das Gold zu früh ausgeht.
Die Goldmünzen sind dabei alle exakt kreisförmig und gleichgroß, damit kein Zwerg sein Gold durch Prägen kleinerer Münzen "strecken" kann.
Nun spielen erstmals Zwerg Elon und Zwerg Bill gegeneinander und es ist klar, dass eigentlich keiner verlieren kann, weil beide das abgesteckte Quadrat schon alleine mit Goldmünzen vollkriegen (so voll wie eben möglich).

Für welchen der beiden Zwerge gibt es eine Gewinnstrategie, für den älteren oder den jüngeren?

Kugelparkettierung - (August 2020)

Abbildung eines kugelförmigen Gebäudes
Lösung
Kugelförmige Bauten wie Planetarien, Wasser- und Gastanks gibt es relativ häufig. Will man diese mit Spezialfliesen verkleiden, wird die Zahl verschiedener zu verwendender Fliesenformen ein relevanter Kostenfaktor. Die maximale Ausdehnung einer Fliese (Abstand möglichst weit entfernter Ecken) kann durch das Herstellungsverfahren der Spezialfliese begrenzt sein. Eine relativ kleine Kugel im Durchmesser von 1,5 Metern soll gefliest werden.

Kommt man mit Fliesen einer Form aus, wenn die maximale Ausdehnung der Form 50 Zentimetern nicht überschreiten darf?

Schubfachschluss gecheckt - (Juli 2020)

Abbildung eines Schubfachschranks mit einem blauen, einem gelben und einem roten Schubfach
Lösung
Die Speicherzellen eines Rechners mögen so gestaltet sein, dass jede der Speicherzellen eine natürliche Zahl von 1 bis n enthalten kann. Die Speicherzellen sind mit Null beginnend durchnummeriert; die aktuelle Zahl in Zelle Nummer k sei z(k).
Unter den Zellen Nummer 0 bis n sollte es stets zwei geben, die die gleiche Zahl enthalten (Schubfachschluss). Wir nehmen zunächst an, dass aber jede Zahl mindestens einmal vorkommt. Zur Überprüfung des Schubfachschlusses sollte sich eine Zahl finden lassen, die in zwei dieser Zellen gespeichert ist.

Wie kann man die doppelt vorkommenden Zahl mit nur konstant (also nicht von n abhängig) vielen zusätzlichen Speicherzellen ermitteln?


Üblicherweise trifft die gemachte Annahme nicht zu, es können also auch Zahlen fehlen. Trotzdem sollte es eine Zahl geben, die in mindestens zwei der Zellen Nummer Null bis n steht.

Kann man eine doppelt gespeicherte Zahl stets mit nur konstant vielen zusätzlichen Speicherzellen ermitteln?

Aufwärts - (Juni 2020)

Abbildung einer Schnecke, die einen Baum hochkriecht
Lösung
Bei einem Fantasiegummibaum findet das Längenwachstum immer tagsüber und gleichmäßig über den ganzen Stamm verteilt statt; eben so, wie sich ein Gummiband ausdehnt, wenn man daran zieht.
Die Auswirkungen dieser Wachstumsart auf den Brusthöhendurchmesser wollen wir dabei mal außer Acht lassen.
Die ewige Baumschnecke (auch ein fantastisches Wesen) möchte an den Wurzeln startend bis zur Blätterkrone krabbeln um sich an den Blättern zu delektieren. In der Zwischenzeit hat sie vor, sich von Moos und Tau zu nähren.
Der Stamm des Fantasiegummibaumes unterhalb der Blätterkrone wächst jeden Tag einen Fantastimeter in die Höhe (weswegen er auch fantastische Höhen erreicht), wohingegen die Baumschnecke lediglich nachts nach oben kriechen kann und leider nur einen Schneckimeter pro Nacht schafft.
Wäre jetzt ein Schneckimeter größer als ein Fantastimeter, dann wäre das wohl doch kein Problem für die Schnecke. Aber die Verhältnisse sind nicht so. Dafür hat die ewige Baumschnecke jedoch beliebig viel Zeit.

Kann die ewige Baumschnecke die Blätterkrone erreichen, obwohl ein Schneckimeter eben doch viel kürzer als ein Fantastimeter ist ?

1+1 - (Mai 2020)

Abbildung eines twindragons in rot-orange-gelb Tönen
Lösung
Natürlich wissen wir aus der Grundschule, wenn nicht aus dem Kindergarten, dass 1+1=2 gilt und es geht diesmal auch nicht darum, dies formal logisch zu fundieren.
In unserem gebräuchlichen Zahlensystem gibt es die Ziffer "2", aber schon im Dualsystem, dem Positionssystem zur Basis 2 gibt es diese Ziffer nicht mehr, nur die Ziffern 0 und 1 sind übrig. Die Zahl Zwei (als Basis des Systems) hat dann aber die Darstellung "10".
Im Dualsystem kann man ohne Zusatzzeichen alle nicht negativen ganzen Zahlen darstellen. Es gibt aber noch mehr ganze Zahlen, erst recht im komplexen. Die ganzen Gaussschen Zahlen haben ganzen Realteil und ganzen Imaginärteil.
Wir betrachten nun ein Positionssystem zu einer geeigneten Basis b, in dem man ohne Zusatzzeichen nur mit Ziffern 0 und 1 alle ganzen Gaussschen Zahlen eindeutig darstellen kann.

Gibt es das überhaupt?
Wie lautet in einem solchen Positionssystem die Darstellung von 1+1?

A4 gefaltet - (April 2020)

Abbildung aneinanderliegender geometrischer Formen in rosa, grün und schwarz
Lösung
Das Ziel Euklids bei der Erfindung des euklidischen Algorithmus war, für zwei unterschiedliche Längen eine (möglichst große) gemeinsame Grundeinheit derart zu finden, dass beide Längen jeweils eine ganze Zahl als Maßzahl bezüglich dieser Grundeinheit sind.
Sein Ansatz ist simpel: Wenn die größere Länge ganzzahlig ist (bzgl. der Einheit), so ist die kleinere Länge genau dann ganzzahlig, wenn auch die Längendifferenz es ist, also die Maßzahl der Differenzlänge. Man zieht also die kleinere von der größeren Länge ab und bekommt so mit der kleineren Länge und der Differenzlänge ein Paar Längen, die in Summe sicherlich kleiner sind als die beiden Ausgangslängen. Die Summe der Maßzahlen ist kleiner geworden. Irgendwann wird sie daher kleiner sein als zwei - dann hat man zwei gleichgroße Längen.
Hat man also ein Rechteck, so kann man ein passendes Einheitsquadrat in endlich vielen Schritten konstruieren, indem man fortgesetzt ein möglichst großes Quadrat abschneidet (sofern es die gemeinsame Einheit der Seitenlängen des Rechtecks gibt).
Das goldene Rechteck wird so bezeichnet, weil das Verhältnis seiner großen zu seiner kleinen Seite mit dem entsprechenden Verhältnis nach Abschneiden eines möglichst großen Quadrates übereinstimmt. Offenbar kann der beschriebene Euklidische Algorithmus hier nicht zum Ende kommen; es gibt also keine gemeinsame Einheit. Das ist gleichbedeutend damit, dass dieses Längenverhältnis (welches als goldener Schnitt bekannt ist), irrational ist (denn wären Höhe h zu Breite b gleich p:q mit ganzzahligen, teilerfremden p und q, dann wäre ja h:p=b:q die gesuchte Seitenlänge des Einheitsquadrates).
Karola faltet nun eine kurze Seite eines DIN A4-Blattes so auf eine lange Seite, dass der Knick durch die gemeinsame Ecke A geht. Dann faltet sie den Rest der abgeknickten langen Kante auf ihren ageknickten Teil und stellt fest, dass sie ein Drachenviereck erhält, indem sie den ersten Knick wiederum so auf die lange Seite mit A faltet, dass auch der neue Knick durch A geht.

Warum trifft das nicht nur ungefähr zu?
Wieso folgt daraus, dass das von den umgefalteten Dreiecken nicht bedeckte Rechteck ähnlich zur Form des Originalblatts ist?
Die Irrationalität welcher Zahl folgt daraus?


Geburtstagskuchen - (März 2020)

Abbildung eines Pfannkuchens, der auf einem Teller liegt
Lösung
Karin bekommt zu ihrem Geburtstag von ihren drei Mitarbeitern einen Kuchen mit sechseckiger, achsialsymmetrischer Grundfläche mit ganzzahligen Kantenlängen gebacken. Benachbarte Kanten stehen dabei senkrecht zueinander.
Den Kuchen teilen sie gerecht so, dass jedes der vier Stücke die gleiche ganzzahlige Maßzahl seiner Grundfläche hat, nämlich Karins neu erreichtes Alter.
Klaus merkt an, dass der Kuchen nicht quadratischen mit ganzzahliger Seitenlänge wurde, weil dann die Sache mit dem Alter nicht geklappt hätte.
Peter scherzt, dass die Form des Kuchens durch diese Angaben eindeutig bestimmt ist, weil Karin ein besonderes Alter erreicht hat.

Trifft das zu?
Welche Zahlen a gibt es, für die es (bis auf Kongruenz) genau ein axialsymmetrisches Sechseck aber kein Quadrat mit ganzzahligen Seitenlängen gibt, dessen Flächeninhalt gleich 4a ist?

Wie rund kann das sein? - (Februar 2020)

Abbildung eines Polyeders
Bei dem abgebildeten Polyeder sollen alle Kanten gleich lang sein.

Kann es eine Kugel geben, die alle Kanten berührt?

Ergeben sich die Monate aus dem Jahr? - (Januar 2020)

Abbildung von vier nebeneinanderliegenden Luftballons abwechselnd in schwarz und gold und innenliegend den Zahlen 2020
Lösung
Letztes Jahr konnte man diverse Monatsnummern nur durch Hinzufügen von Klammern, Rechenoperationszeichen "+", "-", "·" und "/" sowie dem Fakultätszeichen "!" aus der Ziffernfolge 2 0 1 9 der Jahreszahl machen. Als Beispiel seien hier etwa Januar, Februar, März und April genannt:
1=20-19
2=2+(0·19)
3=-(2+0+1)!+9
4=-((2+0!)!-1)+9
Bei letzterem gilt in der Tat:
-((2+0!)!-1)+9=-((2+1)!-1)+9=-(3!-1)+9=-(1·2·3-1)+9=-5+9=4
Wir schreiben aber jetzt das Jahr 2020.

Lassen sich dieses Jahr alle Monatsnummern aus der Ziffernfolge der Jahreszahl auf die beschriebene Art und Weise erzeugen?

Eigenartige Zeichen? - (Dezember 2019)

Abbildung des Buchstaben M mit einem waagerechten Strich in der Mitte
Lösung
Elisa malt mehr oder weniger eigenartige Zeichen. Ihr erstes Zeichen ist ein großes M. Das zweite Zeichen ist ein unterstrichenes Herz. Beim dritten Zeichen versucht sie sich an einer Abrollkurve, malt also die Bahn die ein Punkt eines Kreises durchläuft, während dieser auf einem viermal so großen Kreis abrollt.
Beim vierten Zeichen malt sie schon wieder ein M, streicht es aber dann durch (siehe Bild links oben). Als fünftes Zeichen malt sie den Umriss eines Apfels, der unter einem Ast hängt.

Wie wird wohl das nächste Zeichen aussehen?

Münzwurf - (November 2019)

Abbildung einer menschlichen Hand, welche gerade eine Münze nach oben wirft
Lösung
Stellen wir uns mal vor das Folgendes passieren wird:
Im Jahr 2048 kommen erstmals wirklich ideale Münzen als Anschauungsmaterial für den Schulunterricht auf den Markt. Über Quanteneffekte ergibt sich tatsächlich, dass die Wahrscheinlichkeiten der Wurfergebnisse "Kopf" und "Zahl" bei jedem Wurf nicht nur näherungsweise, sondern exakt gleich 1/2 sind. Bei einer beliebigen Menge von Würfen sind die Ergebnisse sogar wirklich vollständig stochastisch unabhängig!
Natürlich würden fleißige Lehrer das nicht glauben. Sie führen also jeweils probeweise eine große (feste) Zahl an Münzwürfen durch, und prüfen an den Ergebnislisten mit einem gewissen (festen) Signifikanzniveau ob die Wahrscheinlichkeiten für "Kopf" bzw. "Zahl" gegenüber 1/2 erhöht sind.

Kann es passieren, dass eine Münze dabei durchfällt?

Nehmen wir weiter an, dass Steffen einer der Lehrer ist, bei denen dieser Test keine signifikant erhöhte Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis "Kopf" liefert.

Ist die Wahrscheinlichkeit, dass in Steffens Serie der erste Wurf "Kopf" liefert, genau 1/2?
Sind die Wurfergebnisse des ersten und zweiten Wurfes bei Steffen stochastisch unabhängig?

Hungriger Drache 4 - (Oktober 2019)

Abbildung eines grünen Drachenkopfes
Lösung
Der Drache ist nicht etwa deswegen hungrig, weil er drei Köpfe hat, denn er fraß schon vorher gerne Zwerge. Es ist umgekehrt.
Er sperrte sie schon früher in eine Kammer mit zwei Türen ein - eine war der Ausgang und die andere führte direkt in sein aufgerissenes Maul. So flüchtete im Schnitt leider etwa jeder zweite Zwerg in sein Verderben bzw. des Drachen Maul.
Der guten Fee missfiel der Zwergenhunger des Drachen sehr und es entpsann sich folgender Dialog:

Fee: Du kannst nicht ständig Zwerge fressen wollen, das ist unmoralisch.
Drache: Ich bin eine aussterbende Art, vertrage nur Zwerge und zur Arterhaltung muss doch was zu machen sein. Ich fresse doch auch nur die Zwerge, die mir von selbst ins Maul laufen. Die wollen das doch so!
Fee: Wenn Du behauptest, die Zwerge wollten das so, sollst Du von nun an jedem gefangenen Zwerg eine Frage gestatten. Wenn Du die Antwort kennst, musst du die Frage richtig beantworten.
Drache (entsetzt): Aber ich würde auch gerne mogeln dürfen!
Fee: Gut, du sollst von nun an zwei Köpfe haben, einer muss den Zwerg immer anlügen, der andere muss aber stets die Wahrheit sagen! Der Zwerg soll jedoch wählen können, welchen Kopf er fragt. Du brauchst ihm ja vorher nicht verraten, welcher Kopf wie reagiert.
Drache: Dann muss der Lügenkopf ja immer lügen und darf nicht nur hin und wieder mogeln -- ich würde gerne auch nur manchmal alternative Fakten nennen können.
Fee: Gut. Dann sollst Du noch einen dritten Kopf haben, der sich's jedes Mal aussuchen kann, ob er lügt, oder die Wahrheit sagt. Aber dann darf der gefangene Zwerg nicht nur eine Frage stellen.
Drache: Da fragt mich der Zwerg bestimmt solange bis ich verhungert bin nach dem Ausgang, weil ihm die Fragerei so viel Spaß macht. Irgendwann muss mal gut sein!
Fee: Ich will Dir auch Deinen dritten Wunsch erfüllen! Der Zwerg muss spätestens nach zwei Fragen die Kammer verlassen. Aber wie es bei mir üblich ist, ist nun gut mit Deiner Wünscherei -- wie es besprochen ist, so wird es sein.

Sie schwenkte ihr Zauberstäblein, verschwand in einer zartrosa Glitzerwolke und es wurde wie besprochen. Seitdem hat der Drache drei Köpfe.

Die gute Fee wusste, dass in jedem Zwerg ein Mathematiker steckt. Aber das ist nur ein Grund, warum sie dem Drachen drei Wünsche erfüllte.
Die Rettung aussterbender Arten lag allerdings nicht im Vordergrund.

Warum war die Fee in diesem Fall gut? Kann ein gefangener Zwerg nun etwa doch sicher den Ausgang erfragen?

Goldener Herbst - (September 2019)

Abbildung gelbgefärbter Herbstblätter an einem Baum
Lösung
Der Herbst färbt nun die Blätter golden. Eine gute Zeit also, auch den goldenen Schnitt in Augenschein zu nehmen. Er ist das Verhältnis, in dem im regelmäßigen Fünfeck sich schneidende Diagonalen einander teilen.
Bekannt ist auch das goldene Rechteck, bei dem das Verhältnis von langer zu kurzer Seite genau der goldene Schnitt ist. Schneidet man ein möglichst großes Quadrat von einem goldenen Rechteck ab, ergibt sich als Rest wieder ein goldenes Rechteck.
Durch dieses Zerschneiden ergeben sich zwei Teile, deren Flächenverhältnis der goldene Schnitt ist, von denen aber nur ein Teil ähnlich zu dem zerschnittenen Original ist.

Gibt es ein rechtwinkliges Polygon (aufeinanderfolgende Seiten stehen senkrecht, es sind aber auch innenecken erlaubt), das man in zwei zu ihm ähnliche Polygone zerschneiden kann, deren Flächenverhältnis der goldene Schnitt ist?

Schatten - (August 2019)

Abbildung eines bunten Sonnenschirms auf einem Sandstrand am Meer
Lösung
Sonnenlicht hat die schöne Eigenschaft, auf Terrassen in etwa parallel einzufallen. In der Sommerhitze schirmt man es aber auch gerne ab. Wenn nichts Besseres da ist, kann man das auch mit einem Würfel probieren.

Wie muss der Würfel ausgerichtet sein, damit er auf einer Terrasse den größten Schatten spendet?

ZündschnUhr - (Juli 2019)

Abbildung einer Uhr, welche mit einer Zündschnur verbunden ist
Lösung
Eleonora hat zwei Zündschnüre mit einer Gesamtbrenndauer von jeweils einer Stunde. Leider haben sie jeweils sehr ungleichmäßiges Abbrennverhalten.

Wie kann sie mit Hilfe dieser Zündschnüre eine Zeitspanne von einer Dreiviertelstunde abmessen?

Sicherer Stand - (Juni 2019)

Abbildung einer Glasflasche, deren unteres Drittel gefüllt ist
Lösung
Bei großer Hitze hat Horst auch im Zug nach Leipzig immer eine Glasflasche mit Wasser dabei.
Bei ruckeliger Fahrt steht die Flasche mal mehr und mal weniger sicher auf dem kleinen Tischchen am Fenster.
Bei dem im Bild gezeigten Füllstand steht sie besonders sicher.

Wo befindet sich da der Schwerpunkt der Flasche inklusive Wasser?

Würfelschnitt - (Mai 2019)

Abbildung eines Würfelschrägbildes mit einem rosafarbenen Quadrat in der Mitte
Lösung
Wenn man einen Würfel parallel zu einer seiner Seitenflächen zerschneidet, ergibt sich als Schnittfläche ein Quadrat, also ein regelmäßiges Viereck. Eine andere Schnittebene kann auch ein regelmäßiges Dreieck liefern.

Welche regelmäßigen Vielecke kann man sonst noch als ebene Schnittflächen beim Zerschneiden eines Würfels erhalten?

Ein Osterei - (April 2019)

Abbildung eines Kreises mit einem eierförmigen Oval in der Mitte
Lösung
Man kann eine Eikurve aus einem Kreis K (und ein korrekt gelagertes Osterei aus einer Kugel) wie folgt konstruieren:
Man fixiert den Durchmesser D, der vom untersten Punkt S zum obersten Punkt N des Kreises (der Kugel) verläuft. Für jeden Punkt P auf dem Kreis (der Kugel) bildet man nun den Fußpunkt F seines Lotes auf D und den Lotfußpunkt E des Lotes von F auf die Sehne PS.
Die so konstruierten Punkte E bilden eine auf der Spitze stehende Eikurve (bzw. ein auf der Spitze stehendes Osterei).

Wirklich auf der SPITZE? Bestimme den Krümmungsradius der Eikurve in S! Gibt es in S überhaupt eine eindeutig bestimmte Tangente?

Wettrennen - (März 2019)

Abbildung einer Spinne
Lösung
In einer quaderförmigen Box mit den Abmessungen 10 cm × 20 cm × 30 cm sitzen zusammen in einer Ecke ein Käfer und eine Spinne. Die beiden wollen einen Wettstreit austragen, wer zuerst in der gegenüberliegenden Ecke der Box ankommt. Der Käfer kann fliegen, die Spinne aber nur auf den Wänden der Box entlang krabbeln. Zum Glück kann sie sich aber auch schräg an der Wand halten und sogar kopfüber krabbeln, wenn nötig. Wir gehen davon aus, dass beide die für sie kürzeste Route wählen werden und keine Umwege nehmen.

Wer hat die kürzere Strecke zu absolvieren, und warum?

Die Fluggeschwindigkeit des Käfers beträgt durchschnittliche 6 cm/s. Die flinke Spinne kann immerhin 7 cm pro Sekunde sprinten. Eigentlich auftretende Zusatzzeiten für Start und Landung ignorieren wir, da ja auch die Spinne erst einmal loslaufen und abbremsen müsste.

Wer ist eher am Ziel?

Münzspiel - (Februar 2019)

Abbildung zweier Zwergköpfe namens Hinz und Kunz, mit einer roten Mütze links und einer grauen Mütze rechts
Lösung
Die Zwerge Hinz und Kunz spielen zum Zeitvertreib folgendes Spiel. Sie legen eine gerade Anzahl an Münzen mit verschiedenen aufgeprägten Werten in einer Reihe auf, und ziehen anschließend abwechselnd entweder vom linken Ende oder vom rechten. Gewonnen hat der Zwerg, der am Ende den größeren Gesamtwert in seinem Münzstapel hat.

Finde eine Strategie, mit welcher der beginnende Spieler in jedem Fall nicht verliert.

Pärchenabend - (Januar 2019)

Abbildung einer Menschenkette bestehend aus bunten Silhouetten, die sich an den Händen berühren
Lösung
Eine Gruppe von 5 Pärchen trifft sich zu einem Spieleabend, wobei sich einige mit Handschlag begrüßen, andere ohne. Dabei gilt, dass niemand weder die Hand seines Partners noch seine eigene schüttelt.

Peter, ein anwesender Mathematiker, fragt am Ende der Feier alle Anwesenden (also auch seine Partnerin), wie viele Hände sie jeweils geschüttelt haben. Dabei erhält er von jedem eine andere Antwort.

Wie viele Hände hat Peter geschüttelt?

Flicken - (Dezember 2018)

Abbildung eines schwarzen Brandflecks auf einem sandfarbenen Untergrund
Lösung
Beim vorweihnachtlichen Lichteln hat Sören leider einen unschönen Brandfleck auf der neuen Patchwork-Tischdecke verursacht. Sören möchte diesen Brandfleck durch einen kreisförmigen Flicken überdecken.
Unglücklicherweise hat Sören -- im Flickenladen angekommen -- vergessen, wie genau das Loch aussah. Was Sören sicher weiß, ist, dass egal wie man das Lineal anlegte, das Loch nur höchstens 1dm maß.

Welchen Durchmesser muss der Flicken mindestens haben, wenn er in jedem Fall das Loch überdecken soll?

Wo wohnt Kevin? - (November 2018)

Abbildung eines Stadtplans von Manhatten
Lösung
Der kleine Kevin besucht die 8. Klasse der Eleanor Roosevelt High School, die sich auf der 76-ten Straße (Karte: 76th Street) zwischen der 1-ten Allee und der York Allee (Karte: 1st Avenue und York Avenue) befindet. In der Mathe-AG lernt er Julia kennen, die er zum gemeinsamen Gleichungssystemlösen zu sich nach Hause einladen möchte. Wie es sich für einen waschechten Matheholiker gehört, beschreibt Kevin den Weg zu sich in folgender Weise:

"Ich wohne nordwestlich von unserer Schule in einem Haus, das direkt an einer Kreuzung liegt. Von dieser Kreuzung aus kann ich zwei Schulwochen lang für jeden Weg von oder zur Schule eine andere Route einschlagen, ohne dabei einen Umweg zu machen. Jetzt weißt du, wo ich wohne."

Manhatten_Map.jpg

Sphären zerlegen den Raum - (Oktober 2018)

Abbildung von vier farbigen Kugeln, die zusammenhängen
Lösung
Der dreidimensionale Raum ist zusammenhängend. Mit einer Sphäre (Kugeloberfläche) kann man ihn in zwei Teile teilen, mit zwei Sphären in bis zu vier Teile (wenn sie sich schneiden), mit drei Sphären in bis zu acht Teile (wenn sie sich paarweise schneiden und einen gemeinsamen Teil enthalten).

In wie viele Teile kann man den dreidimensionalen Raum mit vier Sphären höchstens zerlegen?
In wie viele Teile kann man ihn mit n Sphären höchstens zerlegen?

Drei Fünfecke - (September 2018)

Abbildung von farbigen, ineinanderliegenden Fünfecken
Lösung
Zwei regelmäßige Fünfecke ABCDE und A'B'C'D'E' (wie üblich gegen den Uhrzeigersinn bezeichnet) liegen in der Ebene.

Finde einen möglichst anschaulichen Beweis, dass die Mittelpunkte der Strecken A-A', B-B', C-C', D-D' und E-E' ebenfalls ein regelmäßiges Fünfeck bilden.

Schneewittchen und die 8 Zwerge... oder doch nicht - (August 2018)

Abbildung von Schneewittchen und den sieben Zwergen, die sie im Bett vorfinden
Lösung
Das Märchen 'Schneewittchen und die 7 Zwerge' kennt sicherlich jeder. Was kaum einer weiß: Es waren sogar 8 Zwerge.

Bevor Schneewittchen geboren wurde, kam ein gemeiner Zauberer zu den 8 Zwergen und hielt sie in ihrer Hütte gefangen. Nach ein paar Tagen wurde dem Zauberer langweilig, und er entschied sich, ein Spiel mit den Zwergen zu spielen:

Ihr stellt euch hintereinander auf. Anschließend setze ich euch nacheinander verdeckt entweder einen roten oder einen blauen Hut auf den Kopf. Damit könnt ihr nur die Hüte der Zwerge sehen, die vor euch stehen. Dann frage ich euch nacheinander, beginnend mit dem letzten, welche Farbe euer Hut hat. Ratet ihr richtig, lasse ich euch frei, ratet ihr falsch, so verwandle ich euch sofort in eine Maus. Bevor wir beginnen, dürft ihr euch kurz beraten.

Finde eine Strategie, möglichst viele Zwerge zu retten.

Landesgartenschau - (Juli 2018)

Abbildung eines Aussichtsturms in der Natur
Lösung
Zu einer Landesgartenschau soll ein Geländeteil landschaftlich umgestaltet werden, und zwar zum Graphen eines kubischen Polynoms in zwei Variablen in einem kartesischen Koordinatensystem (die Höhe soll den Funktionswert darstellen). Dabei soll es in dem Gelände drei gerade Wege geben, von denen sich je zwei in den fest auf der Karte vorgegebenen Punkten A, B bzw C auf dem Gelände kreuzen und die aus Inklusionsgründen eben und waagerecht verlaufen sollen. Ein Hügel wäre schön, weil man da am höchsten Punkt einen Aussichtsturm draufbauen könnte, um die Gartenschau (fast) aus der Vogelperspektive sehen zu können.

Welche Möglichkeiten gibt es für die Position des Aussichtsturms auf der Karte?

Eisverkauf - (Juni 2018)

Abbildung einer Hand mit Eiswaffel
Lösung
Ein Eisverkäufer kommt an den Strand und möchte Eis für je einen Euro verkaufen. Er hat 20 einzelne Euromünzen als Wechselgeld mit.
Von den hundert Kunden des Tages wird wohl genau die Hälfte den Euro passend haben, die andere Hälfte hat aber wenigstens eine 2-Euro Münze und jeder wird wohl genau ein Eis kaufen.
Er geht davon aus, dass jede Reihenfolge der Kunden gleichwahrscheinlich ist.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit reicht unter diesen Voraussetzungen das Wechselgeld?

Einsturzgefahr - (Mai 2018)

Abbildung einer Höhle mit einer Öffnung, durch die Licht fällt
Lösung
4 Zwerge wurden in einem Stollen verschüttet und können nur durch einen kleinen Schacht entkommen. Sie haben nur eine Lampe, der Schacht ist unbeleuchtet und gefährlich, und auch noch so eng, dass maximal 2 der Zwerge gleichzeitig durchpassen. Leider sind die Zwerge verletzt, sodass sie für den Weg unterschiedlich lange benötigen:

Zwerg 1 - 10 Minuten
Zwerg 2 - 5 Minuten
Zwerg 3 - 2 Minuten
Zwerg 4 - 1 Minute

Wie schnell können die Zwerge entkommen?

Verzweifelter Kellner - (April 2018)

Abbildung von fünf Biergläsern mit einer Schaumkrone auf einem Tablett
Lösung
Nachdem das Wetter endlich schöner ist, zieht es viele Besucher in Peters Biergarten. Peter versucht gerade verzweifelt, die 7 gleichgroßen Weizenbiergläser aus seiner letzten Bestellung auf sein kreisrundes Tablett zu schlichten, als ein Kunde ruft: "Ich 'hicks' brauche doch kein Bier mehr." Erleichtert atmet Peter auf und denkt sich: "Jetzt, wo ich ein Glas weniger tragen muss, bekomme ich die Gläser doch sicher auf mein Tablett."

Kann Peter es schaffen, 6 Weizenbiergläser auf dem Tablett unterzubringen, auf dem für 7 nicht genug Platz war?

Schokolade teilen - (März 2018)

Abbildung zeiner Schokoladentafel
Lösung
Wenke und Stefan haben eine große Tafel Schokolade bekommen und spielen folgendes Spiel: Abwechselnd (wobei Wenke beginnt) nehmen sie ein rechteckiges Teilstück und zerbrechen es entlang der Linien, die die einzelnen Schokoladeplätzchen trennen in zwei rechteckige Stücken. Wenke teilt dabei immer waagerecht (also in der Richtung, in der die Schokoladeplätzchen die größere Ausdehnung haben), Stefan immer senkrecht. Wer zuerst nicht mehr in seiner Richtung teilen kann, hat verloren.

Bei welchen Größen der Schokolade (Anzahl Plätzchen waagerecht x Anzahl Plätzchen senkrecht) kann Wenke den Sieg erzwingen?

Ein Himmel voller Sterne - (Februar 2018)

Abbildung von gelben Sternen auf einem schwarzen Untergrund
Lösung
In einem dreidimensionalen euklidischen Universum hat ein einsamer Betrachter ein kartheseisches Koordinatensystem eingeführt. Eine Koordinateneinheit ist dabei 1 Gigant (ziemlich gigantische Maßeinheit der Länge).
An allen anderen Punkten (außer dem Ursprung) befinden sich die Mittelpunkte von vergleichsweise winzigen gleichhellen kugelförmige Sternen, die alle den gleichen Radius haben.

Zeige, dass trotz der Winzigkeit der Sterne im Vergleich zu ihren gigantischen Abständen jeder (geometrische) Strahl vom einsamen Betrachter aus einen Stern trifft; der ganze Himmel also so hell leuchten müsste wie die Sternenoberfläche, wenn das Licht nicht anderweitig aufgehalten oder abgelenkt würde.

Hungriger Drache #3 - (Januar 2018)

Bild Drachenkopf
Lösung
Unser Drache hat wieder einmal 3 Zwerge entführt, um mit ihnen um ihr Leben zu spielen:

Liebe Gäste, bevor ich euch verspeise, möchte ich euch noch eine Möglichkeit geben, zu entkommen. Als erstes male ich jedem von euch Zwergen zwei Punkte auf die Stirn, die jeweils rot oder schwarz sein können. Dabei verwende ich jeden Stift maximal 4 mal. Ihr könnt also die Punkte auf den Stirnen der anderen Zwerge erkennen, nicht aber eure eigenen.

Anschließend frage ich euch der Reihe nach, ob ihr die Farbe der Punkte auf eurer Stirn wisst. Dabei dürft ihr nur mit "Ja" oder "Nein" antworten. Sobald der erste von euch mit "Ja" geantwortet hat, muss er die Farbe(n) auf seiner Stirn nennen, sonst verspeise ich euch direkt. Antwortet der Zwerg richtig, lasse ich euch frei. Wichtig: Ihr dürft euch vorher nicht absprechen.

Das Spiel nimmt seinen Lauf:
Zwerg 1: "Nein"
Zwerg 2: "Nein"
Zwerg 3: "Nein"
Zwerg 1: "Nein"
Zwerg 2: "Ja"

Welche Farben hat Zwerg 2 auf der Stirn?

Lam Soyd und seine Päckchen - (Dezember 2017)

Abbildung eines großen Quadrates mit bunten kleineren Quadraten, die Zahlen beinhalten
Lösung
Der Weihnachtswichtel Lam Soyd hat ein Problem. Er ist gerade dabei, einen Adventskalender für ein Land, in dem Weihnachten schon am 16. Dezember stattfindet, zu packen. In die quadratische Kiste hat er schon die Päckchen 1-15 gepackt, dabei hat er aber die letzten beiden verwechselt (siehe Bild). Die Päckchen sind auch zu schwer, um sie wieder aus der Kiste zu heben. Allerdings kann er sie herumschieben, er schafft es aber trotzdem nicht, sie in die richtige Position zu bringen.
Da es viele clevere Weihnachtswichtel gibt, verspricht Lam Soyd eine Belohnung von 1.000 Schokotalern, für den Wichtel, der seine Päckchen wieder in Ordnung bringt.
Nun hat der Weihnachtsmann ein Problem: Alle Wichtel versuchen nun, Lam Soyds Problem zu lösen und vernachlässigen dabei ihre eigentlich so wichtigen Aufgaben. Muss Weihnachten nun ausfallen?

Kannst du dem Weihnachtsmann helfen, dass die Wichtel ihre Arbeit wieder aufnehmen?

Letztendlich kommt ein oberkluger Wichtel dazu und bemerkt: "Vielleicht können wir die Leute davon überzeugen, die Tage mit 0 bis 15 zu nummerieren. Dann kann ich Lam Soyd helfen."

Verteilung von Credit Points - (November 2017)

Abbildung einer Reihe nebeneinandersitzender, abstrakter Männchen vor einem Laptop und mit Kopfhörern
Lösung
Fünf Informatikstudenten haben sich ins Prüfungsamt gehackt, dadurch haben sie jetzt die Möglichkeit 100 Credit Points untereinander zu verteilen und Studenten zu exmatrikulieren.
Es gibt eine strikte Rangfolge unter den Studenten, daher gibt es folgende Verteilungsregeln:

Der ranghöchste Student macht einen Vorschlag zur Aufteilung, dann stimmen alle ab, ob der Vorschlag akzeptiert wird. Wird der Vorschlag angenommen, erfolgt die Verteilung der Punkte dementsprechend, andernfalls wird der ranghöchste Student exmatrikuliert. Kommt es zu einer Exmatrikulation muss der ranghöchste verbleibende Student einen Verteilungsvorschlag machen und die verbleibenden Studenten dürfen abstimmen. Und so weiter...
(Bei Unentschieden entscheidet die Stimme des ranghöchsten Studenten.)

Da es sich um logisch denkende und demokratische Informatikstudenten handelt, treffen diese ihre Entscheidungen nach folgender Grundlage:

  • Jeder Student will immatrikuliert bleiben.
  • Jeder Student möchte die Anzahl seiner Credit Points maximieren.
  • Falls sich für einen Studenten keines der vorigen Kriterien ändert, entscheidet er sich immer dafür die Konkurrenz zu exmatrikulieren, also den Vorschlag abzulehnen.

Nun ergeben sich natürlich folgende Fragen:

Welche Verteilung der Credit Points wird sich für die 5 Studenten ergeben? Welche Studenten werden exmatrikuliert?
Zusatzfrage: Was ergibt sich für n Studenten?

Der madige Apfel - (Oktober 2017)

Abbildung eines grünen Apfels mit einen Wurm, der herausschaut
Lösung
Eine Made frisst einen linienförmigen unverzweigten Gang durch einen kugelförmigen Apfel. Auf Grund der Madenart ist klar, dass der Gang so lang ist, wie der Apfel dick. Ein und Austrittsloch des Ganges sind sichtbar.

Kann man den Apfel so durch einen ebenen Schnitt in zwei Hälften teilen, dass eine der Hälften vom Madengang sicher höchstens berührt wird?

Wie lang darf der Gang sein, wenn der Apfel Durchmesser D und der Raupengang Durchmesser d hat, wenn man eine unangefressene Hälfte eben abschneiden können möchte?

Wer gewinnt? - (September 2017)

Abbildung eines Münzhaufens jeweils mit der Zahl 8 darin
Lösung
Zwei Personen haben 100 Münzen und beschließen ein Spiel zu spielen. Abwechselnd muss jeder Spieler zwischen 1 und 10 Münzen nehmen. Es gewinnt der Spieler, der die letzte Münze nimmt.

Wer gewinnt?

Hinweis: Probiere zuerst, was passiert, wenn die Spieler mit wenigen Münzen starten.
Wie sieht es aus, wenn die Spieler \(k\) Münzen haben und in jedem Zug zwischen \(n\) und \(m\) viele Münzen nehmen?

Ein neues Sofa für Familie Maulwurf - (August 2017)

Abbildung einer Wegstrecke mit Richtungspfeilen
Lösung
Familie Maulwurf möchte sich ein neues Sofa kaufen. Dabei gibt es allerdings ein Problem: Der Gang, der zu ihrer Höhle führt, ist überall einen Meter breit und knickt an einer Stelle rechtwinklig ab. Um diese Ecke muss das Sofa herummanövriert werden. Vater Maulwurf schlägt vor, ein Sofa der Größe \(1\mathrm{m} \times 1\mathrm{m}\) zu kaufen, dies kann einfach bis in die Ecke geschoben und dann ins Wohnzimmer gezogen werden. Mutter Maulwurf ist so ein Sofa mit einer Liegefläche von nur \(1 \mathrm{m}^2\) aber zu klein. Der Sohn hat eine Idee - vielleicht kann das Sofa größer werden, wenn man es geschickt um die Ecke dreht?

Wie groß kann das Sofa für Familie Maulwurf werden? Kannst du zeigen, dass es kleiner als ein bestimmter Wert sein muss?

Hinweis: Versuche bitte nicht, die Maulwürfe von einer anderen Farbe zu überzeugen. Sie haben keinen Geschmack.

4 Zwerge und der Wackeltisch - (Juli 2017)

Abbildung eines Holztisches links und eines Zwergenkopfes rechts
Lösung
Vier Zwerge bauen sich einen neuen Esstisch aus massivem Eichenholz, natürlich beherrschen sie ihr Handwerk perfekt und bauen einen wunderschönen quadratischen Tisch mit vier exakt gleich langen Beinen. Dieser schöne Tisch muss natürlich in die Mitte des Esszimmers und sie können es kaum erwarten den Tisch auszuprobieren. Aber was ist das? ... Der perfekte Tisch wackelt. Ohje, die Zwerge haben vergessen, dass ihr Fußboden in der Höhle nicht so perfekt wie der Tisch ist. Sie wollen ihren neuen Tisch dennoch gern ohne Wackeln verwenden. Es sollen weder Tischbeine abgesägt noch verlängert werden. Auch der Fußboden kann nicht geändert werden und etwas unterlegen wollen die Zwerge auch nicht. Ihre letzte Hoffnung ist der Mathematik-Zwerg, vielleicht findet dieser eine elegante Lösung für das Problem.

Kannst du den vier Zwergen bei der Lösung ihres Problems helfen?

Die Maus und ihr Käse - (Juni 2017)

Abbildung einer Maus, die sich durch einen Käse frisst mit der Sprechblase - It´s a bit cheesy
Lösung
Die Mathe-Maus Margit hat ein Problem. Sie hat einen Käsewürfel, der aus \(3\times3\times3\) kleineren Käseswürfeln zusammengesetzt ist. Am liebsten würde sie sich das leckerste Stück, also das in der Mitte, bis zum Schluss aufheben, sie weiß aber nicht wie. Dabei startet sie ihre "Fresstour" in einer Ecke. Sie kann sich immer nur in einen benachbarten Würfel durchfressen.

Kannst du der Mathe-Maus Margit helfen einen Pfad zu finden, bei dem sie sich das mittlere Stück bis zum Schluss aufheben kann?

Hilfe: Wenn dir die Vorstellung in 3 Dimensionen schwer fällt, frage dich, wie das Problem mit einer 2-dimensionalen Maus und einer \(3 \times 3\) Käseplatte aussieht?

Zusatzfrage: Wie sieht das Problem mit einer \(n\)-dimensionalen Maus und einem \(n\)-dimensionalen Käsewürfel mit den Abmessungen \(3 \times 3 \times \ldots \times 3\) aus?

Münzwägeanstalt - (Mai 2017)

Abbildung einer alten Waage
Lösung
Zwergli hat dreizehn identisch anmutende Münzen, die auch bis auf eine das gleiche Gewicht haben. Aus seiner Uni-Ausbildung weiß er, dass man aus 13 Münzen, von denen eine ein besonderes Gewicht hat, die besondere Münze mit nur drei Wägungen einer Balkenwaage bestimmen kann. Die Münzwägeanstalt der Zwerge (welche die einzige ausreichend genaue Balkenwaage enthält) ist allerdings sehr bürokratisch: Will er sie nutzen, muss er die Münzen einzeln verpackt und benannt abgeben, und für jede der zu beantragenden Wägungen festlegen, welche Münzen auf welcher Seite der Balkenwaage liegen sollen. Er erhält die Ergebnisse als Folge der Zeichen g (gleichschwer), l (links schwerer) und r (rechts schwerer). Da er nicht drei Anträge schreiben will, denkt er darüber nach, einen Wägeplan gleich für alle drei Wägungen zu schreiben, kann dabei aber für die späteren Wägungen nicht auf die Ergebnisse der vorhergehenden zurückgreifen.

Ist es Euch trotzdem möglich, für Zwergli einen solchen Wägeplan für drei Wägungen zu erstellen, mit dem er die besondere Münze aus 13 Münzen sicher herausfindet?

Zusatzfrage: Aus wie vielen Münzen kann man die besondere mit einem solchen Wägeplan für \(w\) Wägungen ermitteln?

Das Schloss und die Prinzessin - (April 2017)

Bleistiftzeichnung eines Schlossgebäudeteils
Lösung
In einem Schloss wohnt eine Prinzessin, die 4 nebeneinanderliegende Schlafzimmer besitzt. Jede Nacht sucht sich sich eines davon aus, um darin zu schlafen. Dabei darf sie nie in zwei aufeinanderfolgenden Nächten im selben Zimmer schlafen, sondern muss in eines der direkt angrenzenden ausweichen. Schläft sie in einer Nacht in Zimmer 1, kann sie in der nächsten Nacht nur in Zimmer 2 schlafen, danach kann sie zwischen Zimmer 1 und Zimmer 3 wählen usw.

Jede Nacht kommt ein Prinz vorbei, der die Prinzessin gerne treffen würde. Von außen ist nicht ersichtlich, in welchem Zimmer die Prinzessin schläft. Er darf sich jedoch ein Zimmer aussuchen, in das er hineinschaut. Ist die Prinzessin dort, freut sich der Prinz. Ist sie nicht in dem Zimmer, kommt der Prinz in der darauffolgenden Nacht wieder und darf es erneut versuchen.

Könnt ihr dem Prinzen garantieren, dass er die Prinzessin in höchstens \(N\) Nächten findet?

Zusatzfrage: Wie lange würde der Prinz maximal benötigen, um eine Prinzessin in einem Schloss mit \(M\) Schlafzimmern zu finden? Denn welcher Prinz hätte nicht gerne eine Prinzessin mit \(M\) Schlafzimmern.

Das Rätsel wurde inspiriert durch das Video von standupmaths auf Youtube.

Letzte Chance - (März 2017)

Abbildung von vier Pinguinen, in deren Bäuchen die Zahlen 6,7,5 und 2 zu sehen sind
Lösung
In der Numerik-Klausur haben vier Pinguine nicht die notwendige Punktzahl erreicht. Alle vier werden danach gemeinsam zum Professor gebeten, der ihnen noch eine Chance gibt die Prüfung zu bestehen:

"Ich werde Ihnen gleich einen Zettel mit Ihrer erreichten Punktzahl auf den Rücken kleben, sodass jeder die Punktzahl der anderen, aber nicht seine eigene sieht. Wenn auf mein Zeichen, ohne weitere Absprache, die Pinguine mit der höchsten und dritthöchsten Punktzahl den gleichen Flügel heben und gleichzeitig die Pinguine mit der zweithöchsten und der niedrigsten Punktzahl den anderen Flügel heben, dann lasse ich Sie alle die Klausur bestehen. Es sei noch gesagt, dass Sie alle unterschiedliche Punktzahlen erreicht haben und, dass Sie sich vorher beraten dürfen."

Gibt es eine Strategie, sodass die Pinguine doch noch alle bestehen?

Walzerwunder? - (Februar 2017)

Abbildung zweier abstrakter Bahnen beim Walzertanzen
Lösung
Auf dem Boden eines Tanzsaales ist ein nicht überschlagenes Vieleck eingezeichnet. Wegen recht geringer Auslastung der Tanzfläche gelingt es einem Paar beim Wiener Walzer, nacheinander in jeweils einen Kreisbogen um jede Ecke zu tanzen, wobei die Reihenfolge der abgetanzten Ecken gerade ihrer Reihenfolge auf der Randlinie des Vielecks gleicht. Die Kreisbögen haben haben dabei jeweils einen Zentriwinkel, der dem doppelten Innenwinkel des Vielecks an der entsprechenden Ecke gleicht. Überrascht stellen sie fest, dass sie nach dem letzten getanzten Kreisbogen genau dort herausgekommen sind, wo sie starteten.

Ist das wirklich so überraschend oder geht das unabhängig von der Wahl des Standortes am Start und der Form des aufgezeichneten Vielecks?

Hungriger Drache #2 - (Januar 2017)

Abbildung eines grünen Dachenkopfes
Lösung
Unser Drache hat zehn Zwerge gefangen und sucht nach einem Vorwand um sie verspeisen zu können:

"Liebe Gäste, lasst uns folgendes Spiel spielen. Da Ihr so gerne lustige Hüte aufsetzt, habe ich für euch blaue, rote und grüne Hüte vorbereitet. Jeder von Ihnen bekommt von mir einen dieser Hüte aufgesetzt (ohne dass er ihn sehen kann) und danach stellen Sie sich alle auf einer Treppe auf, sodass jeder nur die Hutfarbe der Zwerge sehen kann, die vor (und damit unter) ihm stehen. Danach darf jeder Zwerg, einer nach dem anderen in beliebiger Reihenfolge, seine Hutfarbe raten.
Die Zwerge, die ihre richtige Hutfarbe erraten, gewinnen einen Freiflug auf meinem Rücken. Die anderen werden zu einem schmackhaften Mittagessen zubereitet."

Die Zwerge erkennen den Ernst der Lage und bitten sich Bedenkzeit aus. Diese wird ihnen unter der Bedingung gewährt, dass der Drache die Beratung mit anhören darf, also in den Plan der Zwerge eingeweiht ist, um die Aufgabe so schwierig wie möglich machen zu können.

Mit welcher Strategie können möglichst viele Zwerge gerettet werden?

Bonusfrage für alle, die das Auswahlaxiom beherrschen:

Diesmal hat der Drache sogar abzählbar viele Zwerge gefangen - und auch eine (nach unten) unendlich lange Treppe. Mit welcher Strategie können wieder möglichst viele Zwerge gerettet werden, wenn diese das Auswahlaxiom beherrschen?

Ellipsen im Einheitskreis - (Dezember 2016)

Abbildung eines Kreises in einem Koordinatensystem mit einer diagonalen Geraden, die den Kreis mittig durchquert
Lösung
Unser Geometer Thomas hat folgendes Problem: Seien Punkte \(A\), \(B\) im Einheitskreis gegeben, die nicht auf demselben Durchmesser liegen.

Man zeige, dass es genau zwei Ellipsen mit großer Halbachsenlänge \(1\) und Mittelpunkt im Ursprung gibt, die durch \(A\) und \(B\) verlaufen.

Ellipsendarstellung

Alter der Kinder - (November 2016)

Abbildung von drei Kindern verschiedener Nationalitäten, die sich an den Händen berühren
Lösung
Mathematiker A besucht Mathematiker B zu Hause. Dabei entsteht folgendes Gespräch:
A: "Wie alt sind eigentlich deine drei Kinder?"
B: "Wenn man ihr Alter multipliziert, erhält man 72 und wenn man es addiert erhält man unsere Hausnummer."
A: "Das hilft mir jetzt aber noch nicht weiter."
B: "Das weiß ich. Aber mein ältestes Kind mag Schokokekse."
A: "Na dann weiß ich Bescheid!"

Wie alt sind die Kinder von Mathematiker B?

Durchmesser und Sehnen - (Oktober 2016)

Abbildung eines Kreises mit einer Anzahl von fünf Sehnen darin
Lösung
In einem Kreis mit Radius \(1\) sind endlich viele Sehnen eingezeichnet. Die größte Anzahl an eingezeichneten Sehnen, die ein Durchmesser dieses Kreises gleichzeitig schneiden kann, ist \(k\).

Man beweise, dass die Summe der Längen aller eingezeichneten Sehnen kleiner als \(\pi k\) ist.

Rechteckproblem - (September 2016)

Abbildung eines Quadrates, welches durch bunte Rechtecke ausgefüllt wird
Lösung

Beweise folgende Aussage:

Ein Rechteck, welches aus beliebig vielen Rechtecken mit mindestens einer ganzzahligen Seitenlänge zusammengesetzt werden kann, besitzt selbst wieder mindestens eine ganzzahlige Seitenlänge.

Hungriger Drache - (August 2016)

Darstellung grüner Drachenkopf
Lösung
Der Drache hat eine Zwergin und einen Zwerg gefangen und sucht nach einem Vorwand um sie verspeisen zu können:

"Liebe Gäste, lasst uns folgendes Spiel spielen. Ich habe hier ein gewöhnliches 8×8 Schachbrett und 64 normale Münzen mit jeweils Wappen und Zahl. Die Zwergin begleitet mich nach nebenan, wo ich auf jedes Feld des Schachbrettes je eine Münze lege, und zwar je nach meinem Gutdünken mit Wappen oder Zahl oben. Dann suche ich mir mein Lieblingsfeld aus und zeige mit der Kralle darauf. Jetzt sucht sich die Zwergin sich eine Münze aus, die ich dann für sie umdrehe. Nun verlässt die Zwergin das Nebenzimmer durch einen zweiten Ausgang, und der Zwerg kommt herein. Wenn der Zwerg mir mein Lieblingsfeld nennen kann, dann gewinnt ihr einen Freiflug auf meinem Rücken und ich bringe euch, wohin ihr wollt. Falls nicht, gewinne ich und bereite euch zu meinem Mittagessen zu.".

Die Zwerge erkennen den Ernst der Lage und bitten sich Bedenkzeit aus. Diese wird ihnen unter der Bedingung gewährt, dass der Drache die Beratung mit anhören darf, also in den Plan der Zwerge eingeweiht ist, um die Aufgabe so schwierig wie möglich machen zu können.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit können die Zwerge ihre Haut retten?

Dinge gibts, die gibts gar nicht! - (Juli 2016)

Abbildung eines Polyeders Johnson_small
Lösung
In der Geometrie kennt man unter anderem platonische, archimedische und Johnson-Körper.
Das sind strikt konvexe Polyeder, also Körper, deren Seitenflächen ausschließlich aus regelmäßigen Polygonen bestehen so dass zwei benachbarte Seitenflächen niemals in einer Ebene liegen. Bei platonischen Körpern müssen alle Seitenflächen und Winkel gleich sein, bei archimedischen verlangt man, dass noch eine besondere Art von Symmetrie vorliegt und der Rest sind Johnson-Körper.
Den Mathematikern sind seit langem alle platonischen, archimedischen und Johnson-Körper bekannt, siehe z.B. die Listen auf Wikipedia:
Platonische Körper
Archimedische Körper
Johnson-Körper .

Nun sind Bilder eines Körpers aufgetaucht, der zwölf Dreiecke, zwölf Fünfecke und zwei Sechsecke als Seitenflächen hat. Augenscheinlich ist er ein Johnson-Körper, aber er ist nicht in den obigen Listen zu finden. Das bedeutet, dass entweder die Mathematiker seit langem etwas übersehen haben oder dass wir euch gerade einen gewaltigen Bären aufbinden.

Was läuft hier schief?

Anti-Mersenne-Zahlen - (Juni 2016)

Abbildung der Formel 2 hoch mn plus 1
Lösung

Es seinen m und n zwei ungerade natürliche Zahlen. Man zeige, dass 2mn+1 sowohl durch 2m+1 als auch durch 2n+1 teilbar ist.

Malen ohne Zahlen - (Mai 2016)

Abbildung eines abstrakten Gemäldes mit einer Szene bei Nacht im Mondschein
Lösung
Jeder Punkt der Ebene wird mit genau einer von zwei Farben (z.B. blau oder rot) angemalt.

Man zeige: Es gibt immer zwei Punkte im Abstand von genau einem Zentimeter, die die gleiche Farbe haben.

Für die etwas anspruchsvolleren gibt es noch eine etwas schwierigere Variante:

Man zeige obige Aussage für den Fall, dass die Ebene in drei Farben angemalt ist.

Und wen der Ehrgeiz nun nicht mehr loslässt, der kann auch beweisen:

Man zeige obige Aussage im Fall von vier Farben.

Verwirrungen auf dem Amt am 1. April - (April 2016)

Abbildung von drei Strichmännchen, die hinter einem Tisch sitzen oder stehen
Lösung
In einer Behörde der Stadt Chemnitz arbeiten in einem Büro drei Brüder. Für den Außenstehenden sehen sie völlig gleich aus und normalerweise arbeiten alle drei sehr zuverlässig.

Nur am 1. April verhalten sie sich etwas sonderbar: Es ist stadtweit bekannt, dass ein Bruder (ein Erster-April-Fanatiker) an diesem Tag auf Ja-Nein-Fragen stets die falsche Antwort gibt. Ein zweiter (ein Erster-April-Muffel) antwortet stets korrekt und der dritte (ein Erster-April-Agnostiker) antwortet an diesem Tag nach Lust und Laune mal falsch und mal richtig.

Sie haben einen neuen Reisepass beantragt. Wie können Sie am 1. April mit nur zwei Ja-Nein-Fragen an je einen der drei Brüder herausfinden, ob der Pass schon abgeholt werden kann?

Zwergentanz - (März 2016)

Abbildung von drei Strichmännchen mit dreieckigen Mützen
Lösung
Die Zwerge haben eine interessante Indoor-Lotterie für Gruppen mit mindestens drei Personen auf ihrem Jahrmarkt.

Die Verlosung läuft folgendermaßen ab: Jeder Zwerg kauft ein Los. Das Los wird so an der Zwergenmütze befestigt, dass der Träger die Losnummer nicht sehen kann. Die Losnummern sind reelle Zahlen, und keine Zahl wird zweimal verkauft. Im ersten Raum kann sich jeder Zwerg die Losnummern der anderen Teilnehmer anschauen. Von dort aus geht es einzeln weiter in den zweiten Raum, wo jeder Zwerg wählen muss, ob er einen roten oder einen weißen Schal mit in den dritten Raum nimmt. Im dritten Raum dürfen die Teilnehmer dann endlich ihre Losnummer ansehen und müssen sich aufsteigend nach Losnummern sortieren. Gewonnen hat die ganze Gruppe, wenn im dritten Raum keine zwei Teilnehmer mit gleicher Schalfarbe nebeneinander stehen.

Natürlich darf in den Räumen eins und zwei nicht kommuniziert werden.

Wie können die Zwerge in dieser Lotterie gewinnen?

Pfannkuchen essen - (Februar 2016)

Bild eines Pfannkuchens auf einem Teller
Lösung
Die Brüder Kalle und Klaus essen für ihr Leben gerne Pfannkuchen (mancherorts auch als "Berliner" oder "Krapfen" bekannt). Darum kaufen sie bei der Bäckerei Kurt eine Tüte mit n köstlichen, mit Pflaumenmus gefüllten Pfannkuchen. Der Bäcker legt noch einen zusätzlichen Pfannkuchen in die Tüte und verkündet, dass nun auch ein Scherz-Pfannkuchen dabei sei, welcher mit Chili-Senf-Knoblauchmayonnaise gefüllt wurde.

Zu Hause können die beiden an den Pfannkuchen keine äußerlichen Unterschiede feststellen. Die einzige Möglichkeit, den falschen zu identifizieren, ist hineinzubeißen. So machen sie ein Spiel daraus: Abwechselnd isst jeder einen Krapfen und sobald einer den Scherzpfannkuchen erwischt hat, hat er verloren.

Kalle lässt Klaus den Vortritt und denkt: "Soll der mal anfangen, vielleicht erwischt er ja gleich beim ersten Versuch den falschen!"

Klaus ist schon ein Jahr älter und kennt sich mit Wahrscheinlichkeiten aus. Er denkt: "Es ist besser, wenn ich anfange! Die Wahrscheinlichkeit, dass ich beim ersten Versuch den Ekelpfannkuchen erwische ist doch winzig klein. Da hat der Kalle ein höheres Risiko, wenn er in den zweiten beißen muss, denn ich habe dann ja schon den ersten guten Pfannkuchen weggegessen."

Beide wissen, dass man das auch ausrechnen könnte, aber hey, einen Berg Pfannkuchen aufzuessen macht einfach zu viel Spaß!

Wer von den beiden hat die schlechtere Strategie gewählt?

Das heißt, wer hat das größere Risiko, den Chili-Senf-Knoblauchmayonnaisepfannkuchen zu erwischen?

Kreissehnen - (Januar 2016)

Abbildung eines Kreises mit zwei Sehnen darin
Lösung
In einem Kreis werden zwei Sehnen gezogen, die sich im Kreisinneren schneiden. Der Schnittpunkt teilt jede Sehne in je zwei Strecken, deren Längen mit x und y beziehungsweise mit p und q. bezeichnet werden.

Man zeige: \(xy=pq\).

Kreissehnen.jpg

Der algebraische Kalender - (Weihnachten 2015)

Abbildung eines Ziffernblattes einer Uhr mit Strichen, aber ohne Zahlen
Lösung
Wir wollen einen schicken und kreativen Kalender für das Jahr 2016 basteln. Dazu verteilen wir die Zahlen eins bis zwölf, stellvertretend für die zwölf Kalendermonate, auf dem Ziffernblatt einer alten Uhr. Da wir aber Mathematiker sind, wollen wir, dass für je drei benachbarte Zahlen a, b und c (im Uhrzeigersinn gezählt) folgende Gleichung erfüllt ist:

a2 = b · c (mod 13)

(Der Ausdruck ``mod 13'' bedeutet, dass auf jeder Seite der Gleichung der Rest beim Teilen durch 13 betrachtet wird.)

Kann es einen solchen Kalender geben? Und wenn ja: wie viele Möglichkeiten haben wir, die Zahlen anzuordnen?

Flächeninhalt von Dreiecken - (Dezember 2015)

Abbildung eines ungleichmäßigen Dreicks mit seiner Hypothenuse
Lösung
Eine Universität stellt Studienbewerberinnen und -bewerbern folgende Aufgabe bei der Aufnahmeprüfung.

Die Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks misst 10 Zentimeter, und die dazu senkrechte Höhe misst 6 Zentimeter. Man ermittele den Flächeninhalt.

Die meisten sind der Aufgabe gewachsen berechnen als Antwort 30 Quadratzentimeter. Nur die angehenden Mathematikerinnen und Mathematiker schafften es nicht, diese Aufgabe zu lösen. Woran lag das?

Fehlersuche - (November 2015)

Abbildung von zwei roten F untereinander auf der linken Seite und auf der rechten Seite einen dick-gezeichneten roten Strich
Lösung
Caros Bachelorarbeit ist fast fertig, und Astrid und Beate lesen unabhängig voneinander Korrektur. Astrid findet 12 Fehler. Beate findet 8 der Fehler, die Astrid gefunden hat, und noch 8 weitere.

Schätze, wie viele unentdeckte Fehler sich noch in Caros Arbeit verstecken!

Neue Rätselideen sind gerne gesehen! Kontakt:

Presseartikel