Mathematisches Rechenzentrum
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Historische Rechenmaschinen

An der Fakultät für Mathematik befindet sich eine kleine Sammlung "Historischer Rechenmaschinen". Sie enthält Mathematische Instrumente, mechanische und elektromechanische Rechenmaschinen. Der folgende Artikel soll keine lückenlose Entwicklungsgeschichte der Rechenmaschinen sein. Es werden lediglich einige markante Meilensteine angeführt, wobei besonders die Entwicklungen hervorgehoben werden, zu denen unmittelbar lokale Beziehungen und Bezüge zu unserer Sammlung bestehen.

Sammlung "Historischer Rechenmaschinen"
Triumphator Modell C
Triumphator 
Modell C 		Addiator Standard Nr. A
Addiator
Standard Nr. A 		Madix
Madix 
Feliks Modell M
Feliks 
Modell M 		Cellatron Modell R44 SM
 Cellatron 
Modell R44 SM 		Minirex 75
Minirex 75
Soemtron 222
Soemtron 222  		Elka 53
Elka 53 		Z9001
Z9001

Mechanische und elektromechanische Rechenmaschinen

Grundaufbau und Funktionsweise
Triumphator Modell C groß a)    Einstellwerk
b)    Resultatwerk
c)    Umdrehungszahlwerk

Realisierung der Grundrechenarten (Beispiele)

Addition    167,53 + 248,68 = ???

Vorgehensweise:
  1. 16753 im Einstellwerk einstellen und durch eine positive Drehung ins Resultatwerk übertragen (Komma im Gedächtnis setzen)
  2. 24868 im Einstellwerk einstellen und durch eine weitere positive Drehung zum 1. Summanden addieren. Die Summe der beiden Zahlen (41621) erscheint  im Resultatwerk (Komma setzen!!!)

Subtraktion    368,11 - 180,45 = ???

Vorgehensweise:
  1. 36811 im Einstellwerk einstellen und durch eine positive Drehung ins Resultatwerk übertragen (Komma im Gedächtnis setzen)
  2. 18045 im Einstellwerk einstellen und durch eine negative Drehung vom 1. Operand subtrahieren. Das Ergebnis (18766) erscheint im Resultatwerk (Komma setzen!!!)

Multiplikation    3,45 x 172 = ???

Vorgehensweise:
  1. 345 im Einstellwerk einstellen.
  2. so oft in positiver Richtung drehen, wie es Einer im 2. Faktor sind. (2x)
  3. das Schiffchen um 1 Stelle nach rechts bewegen und dann so oft in positiver Richtung drehen, wie es Zehner im 2. Faktor sind. (7x)
  4. das Schiffchen noch eine Stelle nach rechts bewegen und dann so oft in positiver Richtung drehen, wie es Hunderter im 2. Faktor sind. (1x)
    ...
    das Produkt der beiden Faktoren (59340) erscheint im Resultatwerk (Komma setzen!!!)

Division    86 : 13 = ???

Vorgehensweise:
  1. Schiffchen ganz nach rechts fahren.
  2. 86 im Einstellwerk einstellen und durch eine positive Drehung ins Resultatwerk übertragen
  3. das Umdrehungszahlwerk auf 0 stellen.
  4. kleinen Hebel rechts (+/-) für Division auf (-) stellen.
  5. 13 im Einstellwerk einstellen
  6. solange in negativer Richtung drehen, bis die 13 nicht mehr durch die im Resultatwerk stehende Zahl dividiert werden kann.
  7. Schiffchen um 1 Stelle nach links bewegen und Schritt 6 wiederholen.
  8. Schritt 7 solange wiederholen, bis das Schiffchen wieder in der Anfangsposition ist.
  9. das Ergebnis (66153846) steht im Umdrehungszahlmesser. (Komma setzen!!!)

Technische Realisierung der Rechenfunktionen

Was ist eine Vier-Spezies-Sprossenradmaschine?
Maschinen, die alle vier Grundrechenarten beherrschen, werden als Vier-Spezies-Maschinen bezeichnet. Ein Sprossenrad ist ein Zahnrad mit beweglichen Zähnen, die sich durch Verdrehen einer Kurvenscheibe herausschieben lassen. Je nach Hebelstellung sind also zwischen 0 und 9 Zähne im Eingriff mit dem Zählrad und dreht dieses um entsprechend viele Stufen weiter.

Was ist eine Staffelwalze?
Eine Staffelwalze ist eine Anordnung von achsenparallelen Zahnrippen gestaffelter Länge. Je nach Position des zweiten verschiebbaren Zahnrades wird bei einer Umdrehung der Staffelwalze dieses um null bis neun Zähne weitergedreht.

Die Anfänge elektronischer Tisch- und Taschenrechner

Anfang der 60er Jahre wurden elektromechanische Rechenmaschinen populär, die auf dem gleichen Funktionsprinzip beruhten wie die etwas älteren Kurbelrechenmaschinen. Einzig die Einstellhebel waren durch Tasten, die Anzeige durch ein Druckwerk und die Kurbel durch einen Elektromotor ersetzt worden.
Ein Blick in die Mechanik zeigt, wie aufwändig diese Maschinen sowohl in der Fertigung als auch in der Wartung und Reparatur waren. Eine wesentliche Verbesserung ergab sich durch die Realisierung solcher Maschinen auf Basis elektronischer Bauteile. Die Logikplatinen waren zwar mit hunderten von Widerständen, Dioden, Kondensatoren und Transistoren überfrachtet - dafür blieb die noch notwendige Mechanik überschaubar. Problematisch war in der Anfangszeit noch die Anzeige der Rechenergebnisse. Displays mit Siebensegment-Anzeige als LEDs, mit Luminiszenzröhren oder gar LCDs waren noch in weiter Ferne. Die Firma Diehl löste das Problem klassisch mit einem Druckwerk, Hewlett Packard spendierte der HP 9100 einfach einen Bildschirm, der jedoch nur drei Zeilen darstellen konnte und dabei Siebensegment-Ziffern benutzte.

Innerer Aufbau

Beispiel :    ELKA 53

Elka 53 Innen Teil 1  Elka 53 Innen Teil 2

Realisierung der Eingabe von Rechenaufgaben

umgekehrte polnische Notation:

Man stelle sich vor, der Taschenrechner arbeite intern mit einem Stapel kleiner Kärtchen, auf denen er Zahlen notieren kann. Die Zahl auf dem obersten Kärtchen kann man im Display ablesen. Wird nun eine Zahl eingegeben, erscheint diese auf dem obersten Kärtchen. Man kann eine zweite Zahl eingeben, in dem man nach Eingabe der ersten auf [Enter] drückt. Dadurch wird ein neues Kärtchen oben auf den Stapel gelegt und hier kann man nun die Zahl eintippen. Die erste Zahl befindet sich nun auf dem zweiten Kärtchen von oben. Wird nun eine der Tasten mit den Rechenoperationen ( +, -, x, / ) gedrückt, so wird diese mit den Werten auf den beiden obersten Kärtchen durchgeführt und dabei beide Kärtchen durch eines mit dem Ergebnis ersetzt.

Beispiele:
6 x 4 berechnet man durch Eingabe von: [6][Enter][4][x]
6 x (5 + 2) berechnet man durch Eingabe von: [6][Enter][5][Enter][2][+][x]
  ...oder durch Eingabe von: [5][Enter][2][+][6][x]

Der Rechenstab

Rechenstab

Mathematische Grundlagen

Die reellen Zahlen bilden bezüglich der Multiplikation eine Gruppe
G1: Das Produkt zweier reeller Zahlen ist wieder eine reelle Zahl.
G2: Die Multiplikation ist assoziativ, d.h. dass beliebig Klammern gesetzt werden können
(a*b)*c=a*(b*c)
G3: Es gibt ein neutrales Element e bezüglich der Multiplikation, so dass
a*e=e*a=a . Dieses wird bei Multiplikation gewöhnlich "1" genannt.
G4: Es gibt zu jeder reellen Zahl a eine entgegengesetzte Zahl a-1, so dass a*a-1=e
G5: Darüber hinaus ist die Multiplikation kommutativ: a*b=b*a
Die Funktion f(x):y = lg x und ihre Eigenschaften
G1: y=lg x ordnet jeder positiven reellen Zahl eindeutig eine reelle Zahl zu und umgekehrt.
G2:
Logarithmengesetze:
lg(a*b) = lg(a)+lg(b)
lg(a:b) = lg(a)-lg(b)
lg(ab) = b*lg(a)
Folgerung: Die Funktion y = lg x  vermittelt eine Isomorphie zwischen der multiplikativen Gruppe ( R+ ; * ) und der additiven Gruppen ( R ; + )

Anwendung auf das schriftliche Rechnen

Beispiel:

14,347 x 2.5819

lg (14,347 x 2,5819) = lg(14,347) + lg(2,5819)

lg(14,347) = lg(1,4347 x 10) = lg(1,4347) x lg10 = 0,156761 + 1
lg(2,5819) = 0,3582966

lg(14,347) + lg(2,5819) = 1,515057706
101,515057706 = 32,73841925

weitere Beispiele:

  • Mehrere Faktoren unterschiedlicher Größenordnungen
  • Division zweier Zahlen

Weitere Rechengeräte

Planimeter

Polarplanimeter
Polarplanimeter 		Scheibenplanimeter
Scheibenplanimeter
Reibrad gesteuerte Mechanismen dienen seit Anfang des 18. Jahrhunderts zur Bestimmung von Kurvenlängen. Sie wurden weiterentwickelt zu den sogenannten Planimetern, mit deren Hilfe Flächen durch Umfahren bestimmt werden konnten. Hierbei kam schon ein einfacher Datenspeicher in Form von Zeigern und Zahnrädern zum Einsatz, der die einzelnen Teilflächen der umfahrenen Fläche aufsummierte. Erwähnt sei hierbei Jacob Amsler, der 1856 das Polarplanimeter entwickelte, das aus einem festen Teil bestand, das durch ein Gewicht fixiert wurde, und weiterhin aus einem beweglichen Arm, mit dem die Fläche umfahren wurde, und das in ähnlicher Art und Weise noch heute eingesetzt wird, z.B. zur Flächenbestimmung mittels einer Karte.

Funktionsweise:
Der Inhalt einer Fläche, die durch eine geschlossene Kurve begrenzt ist, wird gemessen, indem man die Randlinie der Figur einmal mit dem Fahrstift im Uhrzeigersinn umfährt.  Der Pol bleibt dabei fest.  Das Messrad führt teils rollende, teils gleitende Bewegungen aus. Dabei ergibt sich insgesamt ein Ablesewert für die Drehung, der proportional dem Flächeninhalt ist.

Integraph

Das Prinzip der Flächenmessung führt zur allgemeineren Aufgabe der Integration, um die Integralkurve zu einer gegebenen Funktion darzustellen. Solche Geräte wurden in verschiedenen Konstruktionen realisiert. Sie bilden auch die Basis von Geräten zur Lösung von Differentialgleichungen, wie Analogrechnern. Integraph

Pantograph

Pantograph Der Pantograph ist ein Präzisionsinstrument, das für die Verkleinerung oder Vergrößerung von Zeichnungen benutzt wird. Circa 1940. Es basiert auf einem Parallelogramm, das an allen vier Ecken verbunden wird und an der Verlängerung von einer Seite gesichert ist. Es wurde weitgehend in zeichnenden Büros in den frühen Jahren des zwanzigsten Jahrhunderts verwendet. Es ist durch fotographische Methoden ersetzt worden.

Quellenangaben :

http://www.uni-greifswald.de/~wwwmathe/RTS/
http://www.techfak.uni-bielefeld.de/ags/wbski/lehre/digiSA/Gedankengeschichte/Ausarbeitungen/1105.pdf
http://home.t-online.de/home/jan.meyer/vierspez.htm
http://www.eskom.co.za/heritage/museum.htm
http://www.i-m.de/home/computergeschichte/index.htm
http://www.devidts.com/be-calc/desk_14637.html
http://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/History/ausstell/planimet/
http://www.addiator.de/400-1-addiator-interaktiv.htm
http://www.fbi.fh-darmstadt.de/~schneider/hi1/analogrechner.pdf

Maik Fiedler (Werner-Heisenberg-Gymnasium Chemnitz), Simon Gralka (Gymnasium Burgstädt), Juni 2002