Navigation

Inhalt Hotkeys
Arbeitsgruppe Algebra
Algebra

Vorlesung Algebraische Geometrie (Wintersemester 2015/2016)

Inhalt

Zentrales Thema der Algebraischen Geometrie ist das Studium von Lösungsmengen von Systemen von polynomialen Gleichungen in mehreren Variablen. Obwohl es dabei im Wesentlichen um geometrische Fragestellungen geht (existieren Lösungen?, "wie groß" sind sie? (dies führt zum Dimensionsbegriff), kann man sie in Komponenten zerlegen? usw.), sind die eingesetzten Methoden eher algebraisch. Deshalb eignet sich die Vorlesung sehr gut als Fortsetzung einer Algebra-Vorlesung. Sie kann als Schwerpunkt für die Bereiche Algebra und Geometrie gehört werden. Die wesentlichen Themen werden sein:
  • Affin-algebraische Varietäten
  • Dimension und Komponentenzerlegung
  • Lokale Ringe, Zariski-Tangentialraum, Singularitäten
  • Aufblasen
  • Projektive Varietäten
  • Schnittmultiplizitäten und Satz von Bézout
  • Algebraische Kurven
  • Computeralgebra: Gröbnerbasen, Visualisierung von Kurven und Flächen

Literatur

Es gibt zahlreiche Standardwerke zur Algebraischen Geometrie, die meisten enthalten mehr Stoff als für eine Vorlesung. Die vielleicht wichtigsten Lehrbücher sind die beiden Bände von Shafarevich und das Buch von Hartshorne. Letzteres ist allerdings wesentlich schwieriger und zum Einstieg eher ungeeignet. Ich werde mich wahrscheinlich am Buch von Shafarevich (erster Band) orientieren, mit Anleihen bei Hartshorne und den anderen genannten Referenzen. Da die kommutative Algebra ein unentbehrliches Hilfsmittel in der algebraischen Geometrie ist, werde ich die nötigen Begriffe in der Vorlesung ebenfalls behandeln.

  • Igor R. Shafarevich: Basic Algebraic Geometry, Band 1 und 2, Springer-Verlag
  • Robin Hartshorne: Algebraic Geometry, Springer-Verlag
  • David Eisenbud, Joe Harris: The Geometry of Schemes, Springer-Verlag
  • David Eisenbud: Commutative Algebra with a View Towards Algebraic Geometry, Springer-Verlag
  • Gert-Martin Greuel, Gerhard Pfister: A Singular introduction to commutative algebra
  • David Eisenbud u.a.: Computations in algebraic geometry with Macaulay 2
Außerdem werde ich die folgenden beiden Vorlesungsskripte verwenden

Termine

Vorlesung

  • Dienstag, 2. LE, 09:30 - 11:00, Raum: 2/W035
  • Freitag, 3. LE, 11:30-13:00, Raum: 2/W035
erste Vorlesung: 13.10.2015

Übung

  • Donnerstag 2. LE, 9:15 - 10:45, Raum: 2/B202
erste Übung: 22.10.2015