Mathematische Grundlagen der Computergeometrie
(Dr. Matthias Pester)Inhalt
- Koordinatentransformationen und Projektionen im Raum (Anwendung der linearen Algebra),
- Parameterdarstellung und Eigenschaften von Kurven und Flächen (Anwendung der Differentialrechnung),
- computerspezifische Algorithmen bei der Visualisierung,
- konvexe Hülle von Punktmengen, Begriffe und Algorithmen
Übungsaufgaben
- Übungsaufgaben: OPAL-Kurs Mathematische Grundlagen der Computergeometrie.
- Übung 1: Analytische Geometrie
- Übung 2: Koordinatentransformationen
- Übung 3: Transformationen/Projektionen
- Übung 4: Kurven und Flächen
Lehrmaterial / Anschauungsbeispiele
- Darstellung von 3D-Finite-Elemente-Netzen mittels
Java-Applet
- veranschaulicht einige Probleme bei 3D-Darstellungen,
- wird leider nicht mehr in jedem Browser angezeigt, je nach Browser-Plugin und Sicherheits-Einstellungen. - Exponate im Glasgow Science Centre (Fotos: © privat)Hälfte der Grundfläche eines Spates der Höhe 1, d.h. der Determinante
x1 x2 x3 0 x2-x1 x3-x1 y1 y2 y3 = 0 y2-y1 y3-y1 1 1 1 1 0 0 -
Spat zu (p1,p2,p3) -
Dreiecksfläche, um (-p1) verschoben -
Spat zu (p1,p2-p1,p3-p1) -
Spat zu (e3,p2-p1,p3-p1)
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- Abbildung Homogene Koordinaten (Einbettung des R2)
- Abbildung Repräsentation einer Geraden in homogenen Koordinaten bei Einbettung des R2
- Nacheinanderausführung von Drehungen um Koordinatenachsen (Berechnung der Matrizen)
- Abbildung Drehung um eine beliebige Achse (Gerade durch den Ursprung)
- Drehung um eine beliebige Achse durch Folge von Drehungen um Koordinatenachsen
- Abbildung zur Transformation des Koordinatensystems am Beispiel eines Quaders und zugehörige Berechnung
- Parameterdarstellung (Bedeutung des Parameters t bei Kreis und Ellipse)
-
Bei der ersten Variante hat der Tangentenvektor konstante Länge, bei der zweiten Variante nimmt dessen Länge (und damit die Geschwindigkeit entlang der Kurve) mit dem Parameter t zu.
x=cos(t), y=sin(t), t ∈ [0,π]
x=cos(t2), y=sin(t2), t ∈ [0,√π]
Kardioide: im singulären Punkt verschwindet der Tangentenvektor.
x=(1+cos(t))cos(t), y=(1+cos(t))sin(t)
Astroide: mit 4 singulären Punkten.
x=cos(t)3, y=sin(t)3
-
Klothoide: κ ∼ s -
Anwendung für Gleis- und Straßenbau (zusammengesetzt aus 2 Teilen): κ = |p“|
-
- Das begleitende Dreibein einer Kurve
- Vergleich von 3D-Abbildungen ohne und mit Schattierung: Bsp.1, Bsp.2 .
- Behandlung gekrümmter Oberflächen durch Verfeinerung der Vernetzung: Beispiele
- Abbildung einiger “Kegelschnitte” in 2D und 3D.
- Kurzfassung Skript, als Formelsammlung empfohlen
(kein vollständiges Vorlesungsskript)
Teil 1: Analytische Geometrie Teil 2: Koordinaten (affin, homogen) Teil 3: Koordinatentransformationen Teil 4: Projektionen Teil 5: Parameterdarstellung für Kurven und Flächen (mit Anhang: Übersicht Winkelfunktionen und Zusammenfassung Fundamentalgrößen) - Teil 6: Konvexe Hülle (Begriffe und Algorithmen)
Literaturhinweise
- Encarnacao / Straßer: Computer Graphics, Akademie Verlag, 1988
- Plate: Computergrafik, Franzis-Verlag, 1988
- Pareigis: Analytische und projektive Geometrie für die Computer-Graphik, Teubner, 1990
- Bungartz / Griebel / Zenger: Einführung in die Computergraphik, Vieweg, 2002
- Kreyszig: Differentialgeometrie, Geest & Portig, Leipzig 1957
- Klotzek: Einführung in die Differentialgeometrie, Verlag Harri Deutsch, 1997
- de Berg / van Kreveld / Overmars / Schwarzkopf: Computational Geometry, Springer, 2000
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