Vorlesung Variationsmethoden der Mehrkörperdynamik

Die Variationsrechnung und der mit ihr verbundene Übergang von der vektoriellen Mechanik (Newton) zur analytischen Mechanik (Euler, Lagrange, Hamilton) markiert einen Meilenstein in der Wissenschaftsentwicklung. Nach den klassischen Aufgaben (Brachistochronen, Kettenlinien, Geodäten, Minimalflächen) hat sie sich zunächst in den Anwendungen der theoretischen Physik bewährt und setzt sich zunehmend in den Ingenieurwissenschaften durch. Die Inhalte dieser Lehrveranstaltung sind Simulation und Regelung von Mehrkörpersystemen, die sich an Anwendungen in der Robotik orientieren.

Nach einer Einführung in die Grundbegriffe der Robotik (direkte/inverse Kinematik/Dynamik) wird das, die gesamte klassische Mechanik abdeckende, Hamiltonsche Prinzip diskutiert. Neben dem Herleiten der Bewegungsgleichungen, die im Allgemeinen nichtlinear und nur selten analytisch lösbar sind, stellt dieses Variationsprinzip einen ausgezeichneten Ausgangspunkt für die Entwicklung numerischer Methoden dar. Diese Methoden (Variationelle Integratoren) bieten den Vorteil, dass sie die physikalische Struktur (Impuls, Drehimpuls, Symplektizität) des simulierten Systems erhalten. Dadurch sind sie robuster als generische Verfahren aus der Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen und weisen ein deutlich besseres Langzeitverhalten auf.

Die Optimalsteuerungsaufgabe, d.h. die Planung von Trajektorien, die Zeit, Energie oder allgemeinere Kostenfunktionen minimieren, wird als Verallgemeinerung der Simulationsaufgabe betrachtet und mit einer ähnlichen Methodik numerisch gelöst. Weil die so berechneten Solltrajektorien instabil sein können und sie darüber hinaus Störungen und Ungewissheiten ausgesetzt sind, folgen im letzten Teil der Vorlesungsreihe Optimalregelungsmethoden zum Folgen der Solltrajektorien.

Diese Vorlesungsreihe orientiert sich an den Lehrbüchern von Mark Levi [1] und Richard Murray et al. [2] sowie dem Übersichtsartikel von Adrian Lew et al. [3].