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Verbundprojekt im Rahmen des BMBF-Programms
Mathematik für Innovationen in Industrie und Dienstleistungen

Systemreduktion für IC Design in der Nanoelektronik (SyreNe)

Teilprojekt 2: Passivitätserhaltende Modellreduktion für nichtlineare DAEs




    Teilprojektleiterin:




      Bei der Konstruktion von ordnungsreduzierten Systemen ist es von entscheidender Bedeutung, wesentliche nach außen wirkende Eigenschaften der Ausgangssysteme zu erhalten, insbesondere wenn es sich um Subsysteme in einem komplexen Mikrosystem handelt, bei dem diese Eigenschaften das Gesamtsystemverhalten bestimmen. Eine der wesentlichen Eigenschaften von quellenfreien Teilsystemen ist Passivität.

      Ziel dieses Teilprojekts ist daher die Entwicklung von passivitätserhaltenden Modellreduktionsverfahren für die aus der ladungsorientierten modifizierten Knotenanalyse entstandenen nichtlinearen DAE-Systeme. Diese Verfahren sollen ein reduziertes System erzeugen, in welchem die auftretenden Größen eine sinnvolle physikalische Interpretation haben und die es erlauben, die üblicherweise für die Weiterbearbeitung benutzten (kommerziellen) Software-Produkte, die diese Größen verwenden, anzuwenden. Zudem soll eine direkte numerische Simulation des Input-Output-Verhaltens zu deutlich geringeren Kosten ermöglicht werden.

      Hier soll zunächst die Reduktion mittels des Trajectory Piecewise Linear (TPWL) Algorithmus [53,61] analysiert werden, bei welchem das nichtlineare Modell entlang einer Trajektorie durch ein stückweise lineares Modell approximiert wird. Jedes der linearen Modelle wird mittels eines linearen Modellreduktionsverfahrens reduziert, dies resultiert jeweils in einer Basis. Anschließend wird aus diesen ein geeigneter Projektor erzeugt und jedes linearisierte System wird mit diesem Projektor reduziert. Das reduzierte Modell wird dann als eine gewichtete Darstellung der reduzierten linearen Modelle erzeugt. Die Auswertungskosten des resultierenden reduzierten Modells sind im Vergleich zum Originalmodell deutlich geringer. Es sollen diverse lineare Modelle sowie Verfahren zur Konstruktion einer Projektionsbasis hergeleitet werden. In [53] konnte für sehr einfache Modelle gezeigt werden, dass durch geeignete Wichtungsfaktoren die Passivität des Originalsystems erhalten bleibt. Die Konstruktion solcher Wichtungsfaktoren für die hier untersuchten deutlich komplexeren DAE-Systeme wird ein wesentlicher Bestandteil der Projektarbeit sein. Das Testen und Bewerten der neugewonnenen Verfahren erfolgt in enger Abstimmung mit den Industriepartnern. Unter Verwendung der Ergebnisse aus TP1 und TP3 werden anschließend andere Ansätze zur Modellreduktion nichtlinearer Systeme, wie POD und empirisches balanciertes Abschneiden [43], genauer auf ihre Anwendbarkeit im Rahmen der hier betrachteten passiven Systeme untersucht.

      Meilensteine
      • [J 1] Zunächst wird der TPWL-Ansatz verfolgt, wobei das nichtlineare Modell entlang einer Trajektorie mittels passiver linearer Modelle approximiert wird. Es werden passivitätserhaltende MOR-Verfahren für die Reduktion der linearen Modelle getestet, um zu sehen, welche die Passivität des reduzierten Gesamtmodell garantieren und am effektivsten sind.
      • [J 2] Basierend auf den schon erzielten Ergebnissen werden verschiedene geeignete gewichtete Darstellungen untersucht. Eine genaue Fehleranalyse aller Teilschritte und eine Abschätzung des globalen Approximationsfehlers wird erarbeitet.
      • [J 2-3] Entwicklung und Analyse von empirischem balancierten Abschneiden für die hier untersuchten DAE-Systeme.