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Professur Numerische Mathematik (Partielle Differentialgleichungen)
Professur Numerische Mathematik (Partielle Differentialgleichungen)

Hinreichende Bedingungen zweiter Ordnung und das SQP-Verfahren für gemischt beschränkte Optimalsteuerprobleme

Allgemeine Informationen

sqp_mixed

Stichwörter

  • optimale Steuerung
  • Konvergenztheorie
  • partielle Differentialgleichungen
  • hinreichende Optimalitätsbedingungen
  • SQP-Methode
  • gemischte Beschränkungen

AMS-Klassifikation

49K20, 49K40, 49M05, 49M37

Projektbeschreibung

Viele technische Prozesse werden durch Systeme partieller Differentialgleichungen beschrieben. Die Optimierung solcher Prozesse oder die Identifikation von Materialparametern führt auf Optimalsteuerprobleme bei partiellen Differentialgleichungen. Typischerweise müssen einige der beteiligten Steuerungen und Prozessgrößen in vorgegebenen Zulässigkeitsbereichen liegen. Wir interessieren uns in diesem Projekt für die optimale Steuerung von elliptischen und parabolischen Differentialgleichungen mit punktweisen Ungleichungsnebenbedingungen in Ort und Zeit.
Praktische Anwendungsprobleme enthalten typischerweise nichtlineare Funktionen. Notwendige und hinreichende Optimalitätsbedingungen enthalten dann erste und zweite Ableitungen dieser Nichtlinearitäten. Hinreichende Optimalitätsbedingungen können die Stabilität der Lösung des Optimalsteuerproblems bei Störungen sichern. Darüber hinaus spielen hinreichende Optimalitätsbedingungen eine Schlüsselrolle bei der Konvergenz schneller und effizienter numerischer Verfahren.
Bis jetzt sind hinreichende Optimalitätsbedingungen, Stabilitätsresultate und Konvergentheorie schneller numerischer Methoden nur bekannt, wenn die punktweisen Ungleichungsnebenbedingungen lediglich für die Steuerungen gefordert werden. Anwendungsprobleme enthalten aber typischerweise sowohl Beschränkungen für die Steuerungen als auch für Prozessgrößen (Zustände). Punktweise Nebenbedingungen an Prozessgrößen alleine führen zu mathematischen Problemen, deren Lösung im Moment nicht abzusehen ist.
In diesem Projekt werden wir hinreichende Optimalitätsbedingungen herleiten, Stabilitätsresultate und die Konvergenz des SQP-Verfahrens für Optimalsteuerprobleme mit gemischten Nebenbedingungen beweisen: Solche Probleme sind dadurch charakterisiert, dass in den Ungleichungsnebenbedingungen gleichzeitig Steuerungen und Prozessgrößen auftreten. Die in diesem Projekt entwickelte Theorie garantiert zuverlässige numerische Resultate für beliebig feine Diskretisierungen der beteiligten partiellen Differentialgleichungen.

Projektbezogene Publikationen