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Professur Numerische Mathematik (Partielle Differentialgleichungen)
Professur Numerische Mathematik (Partielle Differentialgleichungen)

Impulskontrollprobleme und adaptive numerische Lösung von Quasi-Variationsungleichungen in Markovschen Faktormodellen

Allgemeine Informationen

qvis_in_finance

Stichwörter

  • optimale Steuerung
  • Impulskontrollprobleme
  • adaptive Diskretisierung
  • Quasivariationsungleichungen

Projektbeschreibung

Impulskontrollprobleme sind allgegenwärtig im Handeln auf Finanzmärkten. Beispiele sind etwa Portfoliooptimierungsaufgaben unter Transaktionskosten. Die mathematische Beschreibung dieser Probleme führt auf Quasivariationsungleichungen, welche in der Regel keine analytische Lösung erlauben. Die bisher etablierten numerischen Verfahren hingegen nutzen praktisch keine adaptiven Techniken. Adaptive Diskretisierungstechniken ermöglichen jedoch erst die effektive und genaue Bestimmung optimaler Handelsstrategien. In diesem Projekt werden einerseits adaptive Verfahren entwickelt und mit effektiven vorkonditionierten Lösern kombiniert, um einen effizienten Gesamtalgorithmus zur Lösung von (Integro)-Quasivariationsungleichungen, wie sie in Märkten mit Sprüngen auftreten, zu erhalten.
Andererseits verlangt die aktuelle Entwicklung auf den Finanzmärkten, wie z.B. die Kreditkrise und die europäische Finanzkrise, die Berücksichtigung von zunehmenden Kreditrisiken und somit die Weiterentwicklung existierender Modelle. Ein geeignetes Mittel hierfür sind Markovsche Faktormodelle, welche eine niedrig-dimensionale Darstellung komplexer Bewegungen auf den Finanzmärkten erlauben. Die hierdurch neu entstehenden Fragestellungen etwa in der Portfoliooptimierung werden im Rahmen des Projekts als Impulskontrollprobleme formuliert und analysiert. Diese werden zwingend nach denjenigen effizienten adaptiven numerischen Methoden verlangen, die ebenfalls im Projekt entwickelt werden.
Schließlich wird der Notwendigkeit Rechnung getragen, dass in der praktischen Anwendung der Verfahren Modellparameter anhand von historischen Marktdaten geschätzt werden müssen. Hierzu werden Verfahren weiterentwickelt, die mit der am Markt vorhandenen unvollständigen Information arbeiten. Die oben erwähnten Vorgehensweisen werden unter dem Aspekt der unvollständigen Information betrachtet und die resultierenden Aufgabenstellungen mit geeigneten numerischen Methoden bearbeitet, um die praktische Anwendbarkeit zu erreichen.

Projektbezogene Vorträge

  • Blechschmidt: A semi-Lagrangian scheme for the solution of Hamilton-Jacobi-Bellman equations, SCAIM Seminar, Pacific Institute for the Mathematical Sciences, UBC, Vancouver, July 2017
  • Herzog: Postprocessing for Finite Element Solutions of HJB Equations, Workshop on Numerical methods for Hamilton-Jacobi equations in optimal control and related fields, RICAM, Linz, November 2016
  • Blechschmidt: New Computational Methods in Portfolio Optimization, Dublin City University, November 2016
  • Blechschmidt: HJB Quasi-Variational Inequalities in Portfolio Optimization and their Discretization by Finite Elements, Forschungsseminar BTU Cottbus-Senftenberg, Cottbus, Juli 2015
  • Blechschmidt: HJB Quasi-Variational Inequalities in Portfolio Optimization and their Discretization by Finite Elements, 27 th IFIP TC7 Conference 2015 on System Modelling and Optimization, Sophia Antipolis, Juli 2015
  • Blechschmidt: Finite Element Discretization of Portfolio Optimization Problems, Chemnitzer Seminar zur Optimalsteuerung, Haus im Ennstal, Österreich, Februar 2015
  • Blechschmidt: Hamilton-Jacobi-Bellman Equations in Portfolio Optimization, Chemnitzer Seminar zur Optimalsteuerung, Haus im Ennstal, Österreich, Februar 2014

Projektbezogene Publikationen