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Professur Numerische Mathematik (Partielle Differentialgleichungen)
Professur Numerische Mathematik (Partielle Differentialgleichungen)

Ein Kalkül für nicht-glatte Formoptimierung mit Anwendungen auf geometrische inverse Probleme

Allgemeine Informationen

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Stichwörter

  • nicht-glatte Formoptimierung
  • Totalvariations-Seminorm auf Oberflächen
  • anisotrope geometrische Funktionale
  • Oberflächenglättung
  • geometrische inverse Probleme
  • konsistente Diskretisierung
  • automatische geometrische Reparametrisierung

Projektbeschreibung

Ziel des Projekts ist ein mathematisch rigoroser Ansatz zur nicht-glatten Formoptimierung. Typische Anwendungsfelder dafür sind geometrische inverse Probleme, die oft auf partiellen Differentialgleichungen basieren. Anwendungsfelder, die hiervon stark profitieren können, umfassen beispielsweise Aufgaben der Oberflächenglättung mit Kantenerhaltung und die Detektion von nicht-glatten Einschlüssen mittels nicht-invasiver Sensorik und Tomographie.
Zu diesem Zweck werden wir neue Geometriefunktionale einführen, die eine detaillierte Kontrolle über die nicht-glatten Eigenschaften der gewünschten Formen ermöglichen. Als Beispiel erwähnen wir die totale Oberflächenvariation des Normalenvektorfeldes. Dazu erweitern wir das Konzept der Totalvariations- Seminorm auf nicht-glatte Funktionen und geometrische Größen auf nicht-glatten Oberflächen. Dieser neuartige Zugang erlaubt auch die Kontrolle anisotroper Eigenschaften in den bevorzugten Formen.
Neben den theoretischen Betrachtungen werden wir uns auf konsistente numerische Realisierungen konzentrieren. Angesichts der Tatsache, dass jede triangulierte Oberfläche im Prinzip nicht-glatt ist, erwarten wir deutliche Verbesserungen auch in Bezug auf den derzeitigen Forschungsstand im Bereich der numerischen Formoptimierung. Beispielsweise werden wir der Frage der besten Krümmungsapproximation, die konsistent mit der tangentialen Stokes-Formel ist, nachgehen.
Um die Anwendbarkeit unseres neuen Ansatzes zu verdeutlichen, werden wir eine Reihe typischer Anwendungen steigender Komplexität behandeln: Oberflächenglättung, inverse Hindernisprobleme, Aufgaben in der elektrischen Impedanztomographie sowie inverse elektromagnetische Streuprobleme mit Maxwell-Gleichungen.

Projektbezogene Publikationen

Projektbezogene Vorträge

  • R. Herzog: Total Variation Image Reconstruction on Smooth Surfaces, SCAIM Seminar, UBC Vancouver, April 2017
  • R. Herzog: Total Variation Image Reconstruction on Smooth Surfaces, SIAM Conference on Optimization, Vancouver, Mai 2017
  • R. Herzog: Total Variation Image Reconstruction on Smooth Surfaces, Simula Research Lab, Oslo, Mai 2017
  • J. Vidal: Total Variation Reconstruction on Smooth Surfaces, Poster in OVA8, Alicante, Juni 2017
  • J. Vidal: Functions of Bounded Variation on Non-Smooth Surfaces, FGI2017, Paderborn, September 2017
  • S. Schmidt and J. Vidal: Non-Smooth Optimization and Computational 3D Image Processing, Mini-Symposium in FGI2017, Paderborn, September 2017
  • J. Vidal: Total Variation Image Reconstruction on Smooth Surfaces, Non-Smooth Systems 2017, Darmstadt, Oktober 2017