Analyse verborgener Diffusionsprozesse

Diffusionsprozesse, die kontinuierlich in Raum und Zeit stattfinden, können oft nicht direkt beobachtet werden, sondern nur vermittelt durch Funktionen, die den Mess- oder Beobachtungsprozess widerspiegeln. In dem Projekt sollen Methoden entwickelt werden, um solche "verborgenen" Diffusionsprozesse zu erschließen. Es basiert auf Erfahrungen im Bereich der Zeitreihenanalyse mit Hidden-Markov-Modellen, die in diskreter oder kontinuierlicher Zeit, aber bisher ausschließlich mit diskreten Zuständen formuliert werden. Die dort bekannten Konzepte sollen auf zeitlich und räumlich kontinuierliche Prozesse, wie sie häufig in physikalischen Systemen zu finden sind, erweitert werden. Bei den resultierenden verborgenen Diffusionsprozessen geht man davon aus, dass die diffundierende Zustandsvariable, deren Dynamik typischerweise durch Fokker-Planck- bzw. Langevin-Gleichungen beschrieben wird, nicht direkt beobachtet werden kann, sondern nur vermittels einer deterministischen oder stochastischen Beobachtungsfunktion. Aus Zeitreihen der beobachtbaren Variable soll durch Verallgemeinerungen des EM-Algorithmus eine Parameterschätzung des zugrunde liegenden Diffusionsprozesses ermöglicht werden. Von besonderem Interesse sind Fälle, bei denen der Wertebereich der Beobachtungsvariable, im Gegensatz zur diffundierenden Zustandsvariable, beschränkt bleibt.

Als beispielhafte Anwendung der zu entwickelnden Methoden soll zunächst die Diffusion in einem eindimensionalen, periodischen Potential betrachtet werden, bei der die observierte Zeitreihe aus einer Sequenz von Potentialwerten der diffundierenden Zustandsvariable besteht, die zu deterministisch oder stochastisch verteilten Zeitpunkten gewonnen wurde. Erweiterungen bestehen in der Einbeziehung von Beobachtungsfehlern im Messprozess.