TU Chemnitz: Fakultät für Mathematik: Professur Stochastik: Forschungsseminar Diskrete Geometrie

In diesem Vortrag werden unendliche Worte u mit zwei Buchstaben betrachtet. Typische Fragen in diesem Zusammenhang sind etwa: Ist u quadratfrei? (D.h., kein endliches Unterwort von u taucht in u direkt zweimal hintereinander auf.) Wieviele verschiedene Worte der L�nge n tauchen in u auf? Es wird gezeigt, wie Wort-Substitutionen helfen k�nnen, solche Fragen zu beantworten (und was Wort-Substitutionen �berhaupt sind). Speziell werden Resultate zu Kolakoskisequenzen und zu Sturmschen Worten vorgestellt.

The talk is devoted to limit theorems for a class of Banach space-valued functions defined on graphs. We describe the concept of limits of graph sequences in terms of statistical distributions of possibly infinite graphs. In this context, we will have to distinguish between weak and strong convergence. Further, we demonstrate how the convergence of the functions under consideration relates to the notion of hyperfiniteness for graph sequences. We conclude by mentioning some open questions.

Jeder unendliche, abzählbare Graph G besitzt eine ausschöpfende Folge von endlichen Teilgraphen G(n). Jeder Hamiltonoperator H auf G beitzt endlich-dimensionale Einschränkungen H(n) auf G(n). (Dabei hat man noch eine gewisse Freiheit, Randbedingungen geeignet zu wählen.) Ist der Hamiltonoperator zufällig, bildet die Folge der Spekrten von H(n) einen Punktprozess. Wir interessieren uns für einen Grenzverteilungssatz zu dieser Folge.

Extremale Eigenwerte der Laplacematrix eines Graphen und deren Eigenvektoren sind eng mit Zusammenhangseigenschaften des Graphen verknüpft. Diese Verknüpfung wird bei Optimierung der Eigenwerte über Gewichtsumverteilung zwischen den Matrixeinträgen noch deutlicher und erlaubt eine Interpretation (eines Teils) des Eigenraums als Euklidische Einbettung des Graphen. Nach einer kurzen Darstellung dieser Beziehungen werden einige Querverbindungen zu anderen mathematischen Forschungsfeldern und weiterführende Fragestellungen skizziert.

We study long time behaviour of heat kernels and show convergence of the semigroup to the ground state and convergence of suitably averaged logarithms of kernels to the ground state energy. The results hold for arbitrary selfadjoint positivity improving semigroups. This framework includes Laplace operator on manifolds, on graphs and on quantum graphs. (Joint work with Matthias Keller, Hendrik Vogt, Radoslaw Wojciechowski)