Professur Numerische Mathematik
(Partielle Differentialgleichungen)
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Optimale Steuerung partieller Differentialgleichungen (4V, 2Ü)
Inhalt
Viele Prozesse in Industrie und Naturwissenschaften lassen sich durch partielle Differentialgleichungen beschreiben.
Einige Beispiele dafür sind
- die Ausbreitung von Wärme
- die Kühlung von Stahlprofilen
- das Verhalten quantenphysikalischer Teilchen
- der Ablauf chemischer Reaktionen
- die Züchtung von Kristallen
- die Ausbreitung von Schall- und elektromagnetischen Wellen
- die Bewegung von Fluiden.
Neben der numerischen Simulation zur Vorhersage des Verhaltens solcher Prozesse ist man an deren Optimierung interessiert, z.B. unter ökonomischen Gesichtspunkten oder zur Verbesserung von Materialeigenschaften.
Dies führt auf Optimierungsaufgaben mit partiellen Differentialgleichungen.
Ziele der Vorlesung sind
- einfache Optimalsteuerungsaufgaben mit partiellen Differentialgleichungen kennenzulernen,
- notwendige und hinreichende Bedingungen für optimale Lösungen (Ausgangspunkt für Lösungsverfahren) herzuleiten und zu verstehen
- sowie numerische Lösungsverfahren kennen und anwenden zu lernen.
Im kommentierten Vorlesungsverzeichnis finden sich noch weitere Informationen.
Termine
Prüfung
Um eine Fachprüfung abzulegen oder um einen „Schein mit Note“ zu erhalten,
findet nach der Vorlesungszeit eine mündliche Prüfung statt. Für einen „Schein ohne
Note“ genügt es, mindestens 10 der insgesamt 14 Hausaufgaben erfolgreich zu bearbeiten.
Material zur Vorlesung
- §1 Einführung und Motivation (Material der ersten Vorlesungsstunde am 15.10.2008)
- Beiblatt 1 (Material zu §11.5: Projektionsformel für ein optimales Randsteuerproblem, Vorlesungsstunde am 01.12.2008)
- Beiblatt 2 (Material zu §12: Konstruktion von Testaufgaben, Vorlesungsstunde am 01.12.2008)
- Kapitel 3: Einführung in numerische Verfahren (Material zur Vorlesungsstunde am 08.12.2008)
- Beiblatt 3 (Material zu §14.3: Diskretisierung mit der Methode der finiten Elemente, Vorlesungsstunde am 11.12.2008)
- Beiblatt 4 (Material zu §14.3: Diskretisierung mit der Methode der finiten Elemente, Vorlesungsstunde am 11.12.2008)
- Beiblatt 5 (Material zu §14.3: Diskretisierung mit der Methode der finiten Elemente, Vorlesungsstunde am 15.12.2008)
- Beiblatt 6 (Material zu §14.4 und §14.5: Gradientenverfahren und Verfahren der konjugierten Gradienten, Vorlesungsstunde am 18.12.2008)
- Beiblatt 7 (Material zu §18: Sobolevscher Einbettungssatz und Abbildungseigenschaften des Spuroperators, Vorlesungsstunde am 19.01.2009)
- Beiblatt 8 (Material zu §20: Lösungen in L∞, Vorlesungsstunde am 22.01.2009)
- Beiblatt 9 (Material zu §21: Nemyzki-Operatoren, Vorlesungsstunde am 26.01.2009)
- Beiblatt 10 (Material zu §22: Existenz optimaler Steuerungen, Vorlesungsstunde am 29.01.2009)
- Beiblatt 11 (Material zu §24: Notwendige Optimalitätsbedingungen erster Ordnung, Vorlesungsstunde am 05.02.2009)
Übungen
Material zur Übung
- Matlab-Programm zur Demonstration der eindimensionalen instationären Wärmeleitungsgleichung
- Matlab-Programm, um den Einfluss des Parameters Lambda aufzuzeigen
- Plot der Funktion log | log (r/2) |
- Uebung10_Aufgabe2.m, Robin_1_0.m, slope_triangle.m
- Ue11Auf2.m, Ue11Auf2_A.m, Ue11Auf2_S.m, Ue11Auf2_Sstar.m, Ue11Auf2_scalar_product.m, setup_Ue11Auf2.m, steepest_descent.m, conjugate_gradients.m
- Ue12Auf2.m, Ue12Auf2_Phi.m, Ue12Auf2_derivative_of_projection.m, Ue12Auf2_projection.m, Ue12Auf3_determine_active_sets.m, Ue12Auf3_solve_equality_constrained_subproblem.m, Armijo.m, primal_dual_active_set.m, project_to_discontinuous.m, projected_gradients.m, setup_Ue12Auf2.m
- Lösung von Übung 12, Aufgabe 2c
- Lösung von Übung 14, Aufgabe 3
Literatur
Die Vorlesung hält sich in großen Teilen an das Buch
Als Begleitliteratur bietet sich außerdem ein Buch über Funktionalanalysis an, zum Beispiel,
Für ergänzende Resultate wird gelegentlich auf folgende Bücher verwiesen:
- Adams, Fournier: Sobolev Spaces, Academic Press, 2003
- Kinderlehrer, Stampacchia: An Introduction to Variational Inequalities and their Applications, SIAM, 2000
- Luenberger: Optimization by Vector Space Methods, Wiley, 1998
- Zeidler: Nonlinear Functional Analysis and its Applications, Volume II/B (Nonlinear monotone operators), Springer, 1990
