Arbeitsgruppe Mathematik in Industrie und Technik

DFG Schwerpunktprogramm 1253:
Optimierung mit partiellen Differentialgleichungen

Projekt

Optimal Control-Based Feedback Stabilization in Multi-Field Flow Problems

Das Ziel dieses Projektes ist die Herleitung und Untersuchung numerischer Algorithmen für die Stabilisierung von Mehrfeld-Strömungsproblemen über Randeingriff basierend auf Optimalsteuerungsmethoden.

Wir verfolgen einen Ansatz, der in den letzten Jahren in einer Reihe von Veröffentlichungen von Barbu, Lasiecka, Triggiani, Raymond und anderen vorgestellt wurde. Die Autoren konnten die Möglichkeit der Stabilisierung gestörter Strömungen, beschrieben durch Navier-Stokes-Gleichungen, mithilfe einer Regelung basierend auf dem entsprechenden linear-quadratischen Optimalsteuerungsproblem beweisen.

Bisher ist die numerische Lösung solcher linear-quadratischer Optimalsteuerungsprobleme aufgrund der Komplexität der existierenden Algorithmen problematisch. Indem wir neue Fortschritte in der Reduktion dieser Komplexitäten proportional zu der Komplexität der Lösung des Vorwärtsproblems einsetzen, wollen wir die vorgestellten Methoden auf Mehrfeld-Strömungsprobleme anwenden, bei denen die Strömung mit anderen Feldgleichungen gekoppelt ist.

Wir behandeln drei Szenarien von wachsender Schwierigkeit, an denen wir die Anwendbarkeit des optimalsteuerungsbasierten Feedback-Stabilisierungsansatzes demonstrieren wollen.

Die Szenarien sind die folgenden:

  • Navier-Stokes-Strömung gekoppelt mit (passivem) Transport einiger (reaktiver) Substanzen:

    Dieses Beispiel ist ein eher grobes Modell eines Reaktors, in dem chemische Substanzen durch ein Strömungsfeld transportiert werden und an der Oberfläche reagieren. Die Reaktion wird als schnell im Vergleich zu Diffusion und Transport angenommen, so dass sie durch eine homogene Dirichlet-Randbedingung vereinfacht modelliert werden kann.
    Die Regelung erfolgt durch Variation der Einströmungs-Randbedingung. Dies ist dadurch motiviert, dass der Reaktionsprozess hauptsächlich durch den Transport der chemischen Substanz von der Einströmung zur Reaktionsoberfläche beeinflusst wird.

  • Phasenübergang flüssig-fest mit Konvektion:

    Wir betrachten eine heiße Schmelze, die sich während der Strömung durch eine Gussform verfestigt. Aufgabenstellung ist die Regelung der Phasengrenze zwischen dem flüssigen und dem festen Teil der Form. Zur Behandlung der Navier-Stokes-Gleichungen im flüssigen Teil kommt die Lösung einer Wärmeleitungsgleichung für die Temperatur auf dem ganzen Gebiet hinzu. Die Regelung ist als Temperaturverteilung auf einem Teil des Randes gegeben.

  • Stabilisierung einer Strömung mit freier kapillarer Oberfläche:

    Freie kapillare Oberflächen spielen eine entscheidende Rolle in vielen technischen Anwendungen. Dabei ist die Regelung der freien Oberfläche von höchstem Interesse. Hier betrachten wir ein Modellbeispiel, in dem eine Flüssigkeit über ein Hindernis strömt; der obere ist dabei ein freier kapillarer Rand. Aufgrund der Karman'schen Wirbelbildung beim Umfließen des Hindernisses wird dieser Rand oszillatorisch sein. Das Ziel ist die Stabilisierung des freien Randes.

Projektleiter:

Prof. Dr. Peter Benner
Prof. Dr. Eberhard Bänsch (Angewandte Mathematik III, FAU Erlangen)

Projektbearbeiter:

Anne Katrin Heubner (11/2006-09/2008)
Dr. Jens Saak (10/2009-01/2011)

Studentische Hilfskräfte:

Martin Köhler
Heiko Weichelt


  • Aktuelle Simulationen

    Bsp: Re=10, Sc=10, t_end=100: Bsp: Re=100, Sc=10, t_end=100:
    Bsp: Re=10, Sc=10, t_end=1000:

    Veröffentlichungen:

    Berichte

    • Heiko Weichelt; Navier-Stokes-Gleichung gekoppelt mit dem Transport von (reaktiven) Substanzen;
      Abschlußbericht im Modellierungsseminar;
      TU Chemnitz, April 2010.

    Vorträge: