Algorithmische und Diskrete Mathematik, TU Chemnitz, Fakultät für Mathematik: Fakultät für Mathematik: Algorithmische und Diskrete Mathematik: Göring, Frank
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Dr.Frank Göring
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Nachtrag zu "RGeo" im Auswahlseminar Sayda:
Hier die Aufgabe mit Lösung.Nachtrag zu "Ungleichungen" im Auswahlseminar Schneeberg:
Aufgabe:
Zu vier beliebigen nichtnegativen Zahlen a, b, c und d zeige man, dass die dritte Wurzel aus dem arithmetischen Mittel aller Produkte dreier verschiedener dieser vier Zahlen höchstens gleich der zweiten Wurzel aus dem arithmetischen Mittel aller Produkte zweier verschiedener dieser vier Zahlen ist und bestimme die Fälle, in denen Gleichheit auftritt.
Diese Aufgabe ist als Pirlscher Hammer in die Geschichte der Mathematikolympiaden einegangen. Die Lösung von Dr. Graubner verwendet Analysis, beweist den Satz dafür allgemeiner. In unserer speziellen Lösung liefert die Betrachtung der Nullstellen u,v,w der Ableitung von (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) nach der Variablen x zusammen mit dem Vietaschen Wurzelsatz die Reduktion des Problems mit den vier nichtnegativen Zahlen a,b,c,d auf das analoge Problem für die drei ebenfalls nichtnegativen Zahlen u,v,w, dessen Lösung wir kennen.
Es gibt allerdings auch eine Lösung, die diese Aufgabe allein auf Mittelungleichungen zurückführt und nicht die Existenz der Nullstellen des betrachteten Polynoms benutzt.
